დაამთავრა თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის იურიდიული ფაკულტეტი. ქუცნაშვილი იყო შპს სადაზღვევო კომპანია „არგანის“ გენერალური დირექტორის მოადგილე სამართლებრივ საკითხებში. მუშაობდა საქართველოს პარლამენტის აპარატში, იყო თბილისის საკრებულოს წევრი. 1999-2004 წლებში იყო საქართველოს მე-5 მოწვევის პარლამენტის წევრი პარტიული სიით, საარჩევნო ბლოკი: „საქართველოს აღორძინება“. 2005 წლიდან დღემდე არის ასოციაცია „კანონი ხალხისთვის“ თავმჯდომარე. 2007 წლიდან არის კავკასიის სამართლის სკოლის ლექტორი და საქართველოს საპატრიარქოს იურიდიული სამსახურის ხელმძღვანელი. 2012-2016 წლებში იყო საქართველოს მე-8 მოწვევის პარლამენტის წევრი (თიანეთის მაჟორიტარი), საარჩევნო ბლოკი: „ბიძინა ივანიშვილი — ქართული ოცნება“.
2016-2019 წლებში იყო საქართველოს მე-9 მოწვევის პარლამენტის წევრი (თიანეთის მაჟორიტარი), საარჩევნო ბლოკი: „ქართული ოცნება — დემოკრატიული საქართველო“. 2019 წლის 21 ივნისს ქუცნაშვილმა დეპუტატის მანდატი დატოვა.[1]