ტრანსცენდენტური რიცხვი

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება

მათემატიკაში ტრანსცენდენტური რიცხვი ეწოდება ისეთ რიცხვს (შესაძლოა, კომპლექსურ რიცხვს), რომელიც არ არის ალგებრული, ანუ არ წარმოადგენს რაციონალური კოეფიციენტების მქონე არამუდმივი მრავალწევრის ფესვს.

ტრანსცენდენტური რიცხვების ყველაზე გამორჩეული მაგალითებია რიცხვები π და e. ტრანსცენდენტური რიცხვების მხოლოდ რამდენიმე კატეგორიაა ცნობილი. ეს იმითაა განპირობებული, რომ რიცხვის ტრანსცენდენტურობის დამტკიცება, შესაძლოა, მეტად რთული იყოს.

თუმცა ტრანსცენდენტური რიცხვები არც ისე იშვიათია. უფრო მეტიც, თითქმის ყველა ნამდვილი და კომპლექსური რიცხვი ტრანსცენდენტურია, რახან ალგებრული რიცხვების სიმრავლე თვლადია, ნამდვილი და კომპლექსური რიცხვების სიმრავლე კი — არათვლადი. ყველა ნამდვილი ტრანსცენდენტური რიცხვი ირაციონალურია, რადგან ყველა რაციონალური რიცხვი ალგებრულია. თუმცა ყველა ირაციონალური რიცხვი არაა ტრანსცენდენტური.

ისტორია[რედაქტირება]

ლეონარდ ეილერი პირველი იყო, ვინც ტრანსცენდენტური რიცხვების თანამედროვე განმარტება მოგვცა.[1]. სახელწოდება „ტრანსცენდენტური“ გოტფრიდ ლაიბნიცს ეკუთვნის, რომელმაც თავის 1682 წლის ნაშრომში დაამტკიცა, რომ sin x არაა x-ის ალგებრული ფუნქცია[2][3].

ჯოზეფ ლიუვილმა პირველმა დაამტკიცა ტრანსცენდენეტური რიცხვების არსებობა 1844 წელს [4], 1851 წელს კი ასეთი რიცხვის პირველი ათობით ჩანაწერი მოგვცა: ეს იყო ლიუვილის მუდმივა:

\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots,

რომლის მე-n ციფრი (ათწილადის მძიმის შემდეგ) 1-ის ტოლია, თუ n ზუსტად უდრის ნატურალური k-ს ფაქტორიალს (ანუ, თუ n=1, 2, 6, 24, 120, 720, …), და 0-ის ტოლი, თუ არ უდრის[5]. ლიუვილმა აჩვენა, რომ ეს მუდმივა დღესდღეობით წოდებულ ლიუვილის რიცხვს წარმოადგენს, რაც ნიშნავს, რომ მისი რაციონალური რიცხვებით მიახლოება ძალიან ზუსტია; გაცილებით ზუსტი, ვიდრე ნებისმიერი ალგებრული რიცხვისა. ლიუვილმა აჩვენა, რომ ყველა ლიუვილის რიცხვი ტრანსცენდენტურია[6].

იოჰან ჰაინრიხ ლამბერტმა ივარაუდა, რომ მუდმივები e და π ტრანსცენდენტური რიცხვებია თავის 1761 წლის ნაშრომში, რომელშიც π-ის ირაციონალურობას ამტკიცებდა. პირველი რიცხვი, რომლის ტრანსცედენტურობა დაამტკიცეს და უშუალოდ ამ მიზნისთვის არ გამოუგონიათ, e იყო. მისი ტრანსცედენტურობა შარლ ერმიტმა დაადგინა. 1874 წელს გეორგ კანტორმა დაამტკიცა, რომ რიცხვთა უმეტესობა ტრანსცედენტურია ზემოთ ნახსენები თვლადობის არგუმენტის დასაბუთებით.

1882 წელს ფერდინანდ ფონ ლინდემანმა π-ის ტრანსცენდენტურობის დამტკიცება გამოაქვეყნა. მან ჯერ აჩვენა, რომ e-ს ნებისმიერი არანულოვანი ალგებრული ხარისხი ტრანსცედენტურია, და რახან e = −1 (იხ. ეილერის იგივეობა) ალგებრულია, ე.ი. და, მაშასადამე, π ტრანსცედენტურია. ეს მიდგომა კარლ ვაიერშტრასმა ლინდემან–ვაიერშტრასის თეორემაში განაზოგადა. π-ის ტრანსცენდენტურობის დამტკიცებამ რამდენიმე უძველესი გეომეტრიული ამოცანა გადაჭრა, მათ შორის ფარგლისა და სახაზავის მეშვეობით წრეწირის კვადრატურის პრობლემა.

1900 წელს დავიდ ჰილბერტმა ტრანსცენდენტურ რიცხვებთან დაკავშირებული ცნობილი ამოცანა შემოგვთავაზა, რომელიც ამავდროულად ჰილბერტის მეშვიდე პრობლემა იყო: თუ a ალგებრული რიცხვია ისეთი, რომ a≠0 და a≠1, b კი — ირაციონალური ალგებრული რიცხვი, მაშინ ab აუცილებლად ტრანსცენდენტურია? ამ კითხვას დადებით პასუხი 1934 წელს გელფონდ–შნაიდერის თეორემამ გასცა.

თვისებები[რედაქტირება]

ტრანსცენდენტური რიცხვების სიმრავლე უსასრულო და არათვლადია. ამის დამტკიცება მარტივია: რახან მთელკოეფიციენტებიანი მრავალწევრების რაოდენობა თვლადია, და რახან თითოეულ მრავალწევრს ამონახსნთა სასრული რაოდენობა აქვს, ალგებრულ რიცხვთა სიმრავლეც თვლადი უნდა იყოს. მაგრამ გეორგ კანტორმა დაამტკიცა, რომ ნამდვილი რიცხვების (და, შესაბამისად, კომპლექსური რიცხვების) სიმრავლე არათვლადია; მაშასადამე, ტრანსცენდენტური რიცხვების სიმრავლეც არათვლადი უნდა იყოს.

არც ერთი რაციონალური რიცხვი არ არის ტრანსცენდენტური და ყველა ნამდვილი ტრანსცედენტური რიცხვი ირაციონალურია. თუმცა ზოგი ირაციონალური რიცხვი არაა ტრანსცენდენტური. მაგალითად, 2-ის კვადრატული ფესვი ირაციონალურია, თუმცა არაა ტრანსცენდენტური (რადგან x2 − 2 = 0 მრავალწევრის ამონახსნია).

ნებისმიერი არამუდმივი ერთცვლადიანი ალგებრული ფუნქცია ტრანსცენდენტური არგუმენტისთვის ტრანსცედენტურ მნიშვნელობას იღებს. მაგალითად, რახან π ტრანსცენდენტურია, რიცხვები 5π, (π − 3)/√2, (√π − √3)8 და (π5 + 7)1/7 ასევე ტრანსცენდენტური უნდა იყოს.

თუმცა, მრავალცვლადიანმა ალგებრულმა ფუნქციამ ტრანსცენდენტური არგუმენტებისთვის შეიძლება ალგებრული რიცხვი მოგვცეს, თუ ეს რიცხვები ალგებრულად დამოუკიდებელი არაა. მაგალითად, π და 1 − π ორივე ტრანსცენდენტურია, მაგრამ π + (1 − π) = 1, ცხადია, ალგებრულია. უცნობია, ტრანსცენდენტურია თუ არა π+e ან πe, თუმცა ვიცით, რომ მათგან ერთ-ერთი მაინცაა ტრანსცენდენტური. ზოგადად, ორი ტრანსცენდენტური რიცხვისთვის a და b, რიცხვებიდან a + b და ab ერთ-ერთი მაინც უნდა იყოს ტრანსცენდენტური. ამის დასანახად, განვიხილოთ მრავალწევრი (xa) (xb) = x2 − (a + b)x + ab. თუ (a + b) და ab ორივე ალგებრულია, მაშინ ამ მრავალწევრის ყველა კოეფიციენტი ალგებრულია. რახან ალგებრული რიცხვები ალგებრულად ჩაკეტილ ველს ქმნიან, გამოდის, რომ მრავალწევრის ფესვები a და b ალგებრული რიცხვებია. ეს ეწინააღმდეგება დაშვებას, ანუ კოეფიციენტებიდან ერთ-ერთი მაინც უნდა იყოს ტრანსცენდენტური.

ლიუვილის ყველა რიცხვი ტრანსცენდენტურია; თუმცა, ყველა ტრანსცენდენტური რიცხვი არაა ლიუვილის რიცხვი. e-ს უსასრულო წილადის ჩანაწერიდან ჩანს, რომ ის არ არის ლიუვილის რიცხვი. კურტ მალერმა 1953 წელს აჩვენა, რომ არც π-ია ლიუვილის რიცხვი.

ტრანსცენდენტური რიცხვები და გადაუჭრელი ამოცანები[რედაქტირება]

ტრანსცენდენტური რიცხვებია:

რიცხვები, რომელთა სტატუსი უცნობია:

წყაროები[რედაქტირება]

  1. პალ ერდოში, ანდერვუდ დადლი (November 1983). „Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler“. Mathematics Magazine 56 (5): გვ. 292–298. 
  2. გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცი, კარლ იმანულ გერჰარდტი, გეორგ ჰაინრიხ პერცი (1858). Leibnizens mathematische Schriften. A. Asher & Co., გვ. 97–98. [1]
  3. ნიკოლა ბურბაკი (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer, გვ. 74. 
  4. ობრი ჯ. კემპნერი (October 1916). „On Transcendental Numbers“. Transactions of the American Mathematical Society 17 (4): გვ. 476–482. DOI:10.2307/1988833. 
  5. ვაისშტაინი, ერიკ ვ. "Liouville's Constant", MathWorld [2]
  6. ჯ. ლიუვილი, "Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques," J. Math. Pures et Appl. 18, 883-885, და 910-911, (1844)
  7. ლე ლიონესი, ფ. Les nombres remarquables (ISBN 2-7056-1407-9). Paris: Hermann, გვ. 46, 1979. Wolfram Mathworld-იდან, Transcendental Number
  8. 8.0 8.1 ჩუდნოვსკი, გ.ვ. Contributions to the Theory of Transcendental Numbers (ISBN 0-8218-1500-8). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1984. Wolfram Mathworld-იდან, Transcendental Number
  9. კ. მაჰლერი (1937). „Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen“. Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. (40): გვ. 421–428.