კომპლექსური რიცხვი

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება
კომპლექსური რიცხვი ვიზუალურად შეიძლება წარმოვადგინოთ როგორც რიცხვთა წყვილი (a, b) რომელიც კომპლექსურ სივრცეში ადგენს ვექტორს. "Re" არის ნამდვილი ღერძი, "Im" არის წარმოსახვითი ღერძი, ხოლო i არის წარმოსახვითი ერთეული რომელიც აკმაყოფილებს ტოლობას i2 = −1.

კომპლექსური რიცხვი — რიცხვი, რომელიც გამოისახება როგორც ჯამი z=x + iy, სადაც xდა y ნამდვილი რიცხვებია, ხოლო  i= \sqrt {-1}, რომელსაც წარმოსახვითი ერთეული ეწოდება და მისი კვადრატი არის -1[1]. კომპლექსური რიცხვები ნამდვილი რიცხვების გაფართოებაა.

x უწოდებენ კომპლექსური რიცხვის ნამდვილ, ხოლო y წარმოსახვით. აღნიშნავენ Re და lm შემოკლებებით. ვთქვათ z=-3.5 + 2i, მაშინ:

\operatorname{Re}(z) =\operatorname{Re}(-3.5 + 2i) = -3.5 \
\operatorname{Im}(z) =\operatorname{Im}(-3.5 + 2i) = 2.  \ [1].

რიცხვი წარმოსახვითია თუ y≠0 წინააღმდეგ შემთხვევაში რიცხვი ნამდვილი ხდება. კომპლექსურ რიცხვებთან დაკავშირებულ ტერმინებში, განსაკუთრებით ტრადიციული წარმოშობისა, კომპლექსური რიცხვის გაგების განვითარების რთულმა ისტორიულმა პროცესმა ჰპოვა ასახვა[1].


z = x + yi კომპლექსური რიცხვის ''აბსოლუტური მნიშვნელობა'' (ასევე: მოდული, ამპლიტუდა) გამოითვლება როგორც შესაბამისი ვექტორის სიგრძე:

\textstyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\,

კომპლექსური რიცხვის არგუმენტი ანუ ფაზა წარმოადგენს კუთხეს რადიუსსა და რეალური ნაწილის ღერძს შორის, და ჩაიწერება როგორც \arg(z). აბსოლუტური მნიშვნელობის მსგავსად, არგუმენტი მიიღება მართკუთხა საკოორდინატო სისტემის x+yi ფორმიდან შემდეგნაირად:[2]

\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0  \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
\mbox{indeterminate } & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0.
\end{cases}

როგორც წესი, არგუმენტი გამოისახება რადიანებში.

სქოლიო[რედაქტირება]

  1. 1.0 1.1 1.2 математическая енциклопедия; том 2
  2. Kasana, H.S. (2005), Complex Variables: Theory And Applications (2nd რედ.), PHI Learning Pvt. Ltd, p. 14, ISBN 81-203-2641-5, http://books.google.com/books?id=rFhiJqkrALIC, Extract of chapter 1, page 14