ირაციონალური რიცხვი

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება
რიცხვი \scriptstyle\sqrt{2} ირაციონალურია.

ირაციონალური რიცხვი — მათემატიკაში ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვია, რომელიც არ არის რაციონალური რიცხვი, ანუ რომლის წარმოდგენა არ შეიძლება \frac{m}{n} წილადის სახით, სადაც m\,\! მთელი რიცხვია, ხოლო n\,\! — ნატურალური.

უსასრულო არაპერიოდულ ათწილადს ირაციონალური რიცხვი ეწოდება. ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე I ასოთი აღინიშნება.

რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვთა გაერთიანებას ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ეწოდება და R ასოთი აღინიშნება.

ზოგიერთი სიდიდის გასაზომად საკმარისი არ არის რაციონალური რიცხვები. კერძოდ, არსებობენ მონაკვეთები, რომელთა სიგრძე რაციონალური რიცხვით არ გამოისახება. ასეთია მაგალითად, იმ კვადრატის გვერდი, რომლის ფართობი 2 კვადრატული ერთეულის ტოლია. მართლაც, თუ კვადრატის გვერდის სიგრძე რაციონალური რიცხვით გამოისახება, მაშინ იგი წარმოიდგინება p/q უკვეცი წილადის სახით და მართობულია ტოლობა (p/q)2=2.

აქედან p2=2q2, ამიტომ p2 ლუწი რიცხვია, მაშასადამე ლუწი იქნება p-ც(რადგან კენტი რიცხვის კვადრატი ყოველთვის კენტია), ე.ი. p=2k სადაც k ϵ N და p2=2q2 ტოლობიდან მიიღება,

4k2=2q2 ⇒ q2=2k2

ე.ი. q<sup>2</sup> ლუწი რიცხვია და ასევე ლუწი იქნება q-ც.

მიიღება, რომ p და q ლუწი რიცხვებია, ეს კი ეწინააღმდეგება დაშვებას, რომ p/q უკვეცი წილადია.

ამრგიგად, აღნიშნული კვადრატის გვერდის სიგრძის გამოსახვა რაციონალური რიცხვით შეუძლებელია.

ამრიგად ირკვევა, რომ არ არსებობს რაციონალური რიცხვი რომლის კვადრატი 2, 3, 5, 6 … რიცხვების ტოლია. ასეთი რიცხვები მიეკუთვნებიან ე.წ. ირაციონალური რიცხვების ჯგუფს.

N, Z0, Z, Q და R რიცხვთა შორის არსებობს შემდეგი დამოკიდებულება:

R ⊃ Q ⊃ Z0 ⊃ Z ⊃ N

რაც ე.წ. ეილერის წრეების მეშვეობით შემდეგნაირად გამოისახება:

Eileri.JPG

დალაგების თვისებები:

  1. 1.ნებისმიერი ორი a და b ნამდვილი რიცხვისათვის სრულდება ერთი და მხოლოდ ერთი შედეგი თანაფარდობიდან: a=b a>b a<b
  2. 2.თუ a<b, მოიძებნება ისეთი c რიცხვი, რომ a<c<b.

შეკრების თვისებები:

  1. 1.a+b=b+a (შეკრების კომუტაციურობა)
  2. 2.(a+b)+c=a+(b+c) (შეკრების ასოციაციურობა)
  3. 3.a+0=a
  4. 4.a+(-a)=0 (a და -a მოპირდაპირე რიცხვებია)
  5. 5.თუ a=b, მაშინ a+c=b+c, სადაც c ნებისმიერი რიცხვია

გამრავლების თვისებები

  1. 1.ab=ba (გამრავლების კომუტაციურობა)
  2. 2.(ab)c=a(bc) (გამრავლების ასოციაციურობა)
  3. 3.a*1=a
  4. 4.a*0=0
  5. 5.თუ a=b, მაშინ ac=bc
  6. 6.a*1/a=1 (a≠0),(a და 1/a ურთიერთშებრუნებული რიცხვებია)
  7. 7.(a+b)c=ac+bc (შეკრების დისტრიბუციოლობა გამრავლების მიმართ).