ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები — ელემენტარულ ფუქნციათა ერთ-ერთი უმნიშვნელოვანესი კლასი. მათ მეშვეობით ერთმანეთს უკავშირებენ სამკუთხედის კუთხეებსა და სამკუთხედის გვერდების სიგრძეებს. ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს მრავალი გამოყენება აქვს. ეს ფუნქციები ძალზე მნიშვნელოვანია სამკუთხედების შესწავლასა და პერიოდული პროცესების მოდელირებაში.

ყველაზე ცნობილი ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი. სინუსი კუთხის ზომის გამოყენებით ინფორმაციას გვაძლევს სამკუთხედის გვერდის y-კომპონენტზე, კოსინუსი — x-კომპონენტზე, ტანგენსი კი კუთხის ზომის გამოყენებით დახრას (y-კომპონენტის x-კომპონენტთან შეფარდებას) გვაჩვენებს. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების უფრო ზუსტი განმარტებები ქვემოთაა მოცემული. ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ხშირად განმარტავენ მართკუთხა სამკუთხედისა და ერთეულოვანი წრეწირის კონტექსტში. უფრო თანამედროვე განმარტებები ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს უსასრულო მწკრივებადა და ცალკეული დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნებად წარმოგვიდგენენ, რითაც ამ ფუნქციების განსაზღვრის არე ნებისმიერ დადებით, უარყოფით და კომპლექსურ რიცხვზეც კი განივრცობა.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მრავალგან გამოიყენება. უპირველეს ყოვლისა, მათი მეშვეობით შესაძლებელია სამკუთხედის ამოხსნა (ანუ მისი ყველა კომპონენტის — სამი გვერდის სიგრძისა და სამი კუთხის — დადგენა). გარდა ამისა, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ნავიგაციაში, საინჟინრო მეცნიერებასა და ფიზიკაშიც გამოიყენება. ელემენტარულ ფიზიკაში სტანდარტული ამოცანაა ვექტორის მართკუთხა საკოორდინატო სისტემაში გამოსახვა, რისთვისაც ხშირად გამოიყენება ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. სინუსი და კოსინუსი ასევე ხშირად გამიოყენება პერიოდული ფენომენების — სინათლის და ბგერის ტალღების, ჰარმონიული ისცილატორების მდებარეობისა და სიჩქარის, მზის გამოსხივების ინტენსივობისა და დღის ხანგრძლივობის, წლის ტემპერატურული ცვალებადობის — მოდელირებაში.

თანამედროვე მათემატიკაში ექვსი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციაა, რომლებიც ქვემოთაა მოცემული. ცხრილში მოცემული ბოლო ოთხი ფუნქციის დანარჩენ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან კავშირი ხშირად მათ განსაზღვრებებად მიიჩნევა, თუმცა ამ ფუნქციების განმარტება გეომეტრიულად ან სხვა ხერხებითაც შეიძლება და მათი სხვა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან დამაკავშირებელი ფორმულებიც სწორედ ამ განსაზღვრებებიდან მიიღება.

განმარტებები

გეომეტრიული

მართკუთხა სამკუთხედში

ელემენტარულ გეომეტრიაში ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხისთვის განიმარტება.

განსაზღვრების თანახმად, ნებისმიერი ორი მსგავსი მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები ერთმანეთის პროპორციულია. მაგალითად, თუ ორ მსგავსი სამკუთხედიდან ერთის ჰიპოტენუზის სიგრძე მეორისას ორჯერ აღემატება, მაშინ მისი კათეტების სიგრძეებიც მეორე სამკუთხედისაზე ორჯერ დიდი იქნება. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ჰიპოტენუზასა და კათეტს შორის სწორედ ამ დამოკიდებულებებს გამოხატავს.

ევკლიდურ გეომეტრიაში ნებისმიერი სამკუთხედის შიგა კუთხეების ჯამი 180°-ია (π რადიანი). მაშასადამე, მართკუთხა სამკუთხედში ორი არამართი (ანუ მახვილი) კუთხეების ჯამი 90°, ანუ π/2 რადიანია. ანუ, ამ ორი კუთხიდან თითოეული 0°-ზე დიდია და 90°-ზე მცირე. ამ 0° – 90° შუალედში სამართლიანია ტრიგონომეტრიულ ფუნქციათა შემდეგი განსაზღვრებები:

ფუნქცია	შემოკლება	განმარტება მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხისთვის	მარჯვნივ მოცემულ ნახაზზე
სინუსი	sin	მახვილი კუთხის სინუსი ამ კუთხის მოპირდაპირე კათეტის სიგრძის ჰიპოტენუზის სიგრძესთან შეფარდების ტოლია.	$\sin A={\frac {a}{c}}$
კოსინუსი	cos	მახვილი კუთხის კოსინუსი ამ კუთხის მიმდებარე კათეტის სიგრძის ჰიპოტენუზის სიგრძესთან შეფარდების ტოლია.	$\cos A={\frac {b}{c}}$
ტანგენსი	tg (ან tan)	მახვილი კუთხის ტანგენსი ამ კუთხის მოპირდაპირე კათეტის სიგრძის მიმდებარე გვერდის სიგრძესთან შეფარდების ტოლია.	$\operatorname {tg} \ A={\frac {a}{b}}$
კოტანგენსი	ctg (ან cot ან ctn)	მახვილი კუთხის კოტანგენსი ამ კუთხის მიმდებარე კათეტის სიგრძის მოპირდაპირე გვერდის სიგრძესთან შეფარდების ტოლია.	$\operatorname {ctg} \ A={\frac {b}{a}}$
სეკანსი	sec	მახვილი კუთხის სეკანსი ჰიპოტენუზის სიგრძის ამ კუთხის მიმდებარე კათეტის სიგრძესთან შეფარდების ტოლია.	$\sec A={\frac {c}{b}}$
კოსეკანსი	cosec (ან csc)	მახვილი კუთხის კოსეკანსი ჰიპოტენუზის სიგრძის ამ კუთხის მოპირდაპირე კათეტის სიგრძესთან შეფარდების ტოლია.	$\operatorname {cosec} \ A={\frac {c}{a}}$

ერთეულოვან წრეწირზე

ერთეულოვანი წრეწირი წერტილით, რომლის კოორდინატებია (x, y). ეს წერტილი განსაზღვრავს θ-რადიანიან კუთხეს და θ ერთეულის ტოლი სიგრძის მქონე რკალს მოჭრის.

მოსახერხებელია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტვა ერთეულოვანი წრეწირის გამოყენებით. ერთეულოვანი წრეწირის ცენტრი კოორდინატთა სისტემის სათავეა, მისი რადიუსი კი 1 ერთეულის ტოლია. ამ წრეწირის ტრიგონომეტირულ ფუნქციებთან დასაკავშირებლად საჭიროა, წარმოვიდგინოთ მოძრავი რადიუსი, რომლის ბოლო საწყის პოზიციაში წერტილი (1, 0)-ია. რადიუსი მოძრაობას იწყებს საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგო (დადებითი) მიმართულებით და მის თითოეულ პოზიციას შეესაბამება კუთხე (რადიანებში), რომელსაც რადიუსი დადებით x-ღერძთან ადგენს. სწორედ ამ კუთხისთვისაა შესაძლებელი ტრიგონომეტრიულ ფუნქციათა განმარტვა. თუ ერთეულოვან რადიუსის ბოლოს კოორდინატებია (x, y) (რომლებიც, ცხადია, ერთეულოვან წრეწირზე ძევს) და ის დადებით x-ღერძთან θ-რადიანიან კუთხეს ადგენს, სამართლიანია ტრიგონომეტრიულ ფუნქციათა შემდეგი განსაზღვრებები:

ფუნქცია	მნიშვნელობა
sinθ	y
cosθ	x
tgθ	y/x
ctgθ	x/y
secθ	1/x
cosecθ	1/y

ერთეულოვან წრეწირზე θ რადიანის ტოლი კუთხისთვის სამართლიანია სინუსის, სეკანსის და ტანგენსის ნახაზზე გამოსახული მნიშვნელობები.

ერთეულოვან წრეწირზე θ რადიანის ტოლი კუთხისთვის სამართლიანია კოსინუსის, კოსეკანსის და კოტანგენსის ნახაზზე გამოსახული მნიშვნელობები.

თუ რატომაა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციათა ეს მნიშვნლობები სამართლიანი კოორდინატთა სისტემის პირველ მეოთხედში, ადვილი დასანახია მართკუთხა სამკუთხედის აგებით და ზემოთ მოცემულ (იხ. განმარტებები მართკუთხა სამკუთხედში) განსაზღვრებებთან შედარებით. თუმცა, ერთეულოვანი წრეწირის მოძრავი რადიუსი დადებით x-ღერძთან ადგენს როგორც მახვილ, ისე მართ, ბლაგვ, გაშლილ და გაშლილზე მეტ კუთხეს. ასეთი კუთხეების არსებობა მართკუთხა სამკუთხედში შეუძლებელია. სწორედ ამიტომაა მოსახერხებელი ტრიგონომეტრიულ ფუნქციათა ერთეულოვანი წრეწირის გამოყენებით განმარტვა. რახან მოძრავი რადიუსით შეიძლება მივიღოთ ნებისმიერი კუთხე [0, 2π] შუალედში, ამ შუალედში არსებულ ნებისმიერ ნამდვილ რიცხვს შეესაბამება ექვსივე ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გარკვეული მნიშვნელობა (თუმცა არსებობს წერტილები, რომლებზეც ტანგენსი, კოტანგენსი, სეკანსი და კოსეკანსი არ განისაზღვრება. იხ. ქვემოთ). მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები [0, 2π] შუალედზეა შეზღუდული. ცხადია, შესაძლებელია, მოძრავი რადიუსი 2π-ზე მეტი ან უარყოფითი კუთხით მობრუნდეს. რადგან ნებისმიერი მობრუნება θ+2π n (სადაც n მთელია) რადიანის ტოლი კუთხით θ-რადიანიანი მობრუნებიბის იდენტურია, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები [0, 2π] შუალედის გარეთაც ადვილად განიმარტება. მობრუნების ეს თვისება პირდაპირ კავშირშია ტრიგონომეტირული ფუნქციების პერიოდულობასთან (იხ. ქვემოთ).

უსასრულო მწკრივებად

სინუსი (ლურჯად) და მისი მეშვიდე ხარისხის ტეილორის მრავალწევრი (იასამნისფრად) კოორდინატთა სათავეზე.

გეომეტრიისა და ზღვრების თვისებების გამოყენებით დგინდება, რომ სინუსის წარმოებული კოსინუსია, კოსინუსის წარმოებული კი — უარყოფითი სინუსი. ტეილორის მწკრივების თეორიის გამოყენებით შესაძლებელია დამტკიცდეს, რომ სინუსის და კოსინსუსის შემდეგი განსაზღვრებები ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვისაა სამართლიანი:

{\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}

ეს ტოლობები ხანდახან სინუსის და კოსინუსის განსაზღვრებებად მიიჩნევა. სინუსისა და კოსინუსის მწკრივად წარმოდგენა მოსახერხებელია, რადგან ამით თავიდან ვიცილებთ ფუნქციების გეომეტრიული ინტერპრეტაციის აუცილებლობას. სინსუსის და კოსინუსის მწკრივად გაშლიდან დგინდება მათი წარმოებადობა და უწყვეტობა.

ტეილორის მწკრივად გაშლის მეშვეობით მტკიცება ეილერის ფორმულა: cos x + i sin x = e^ix.

თუ:

U_n მე-n ეილერის ზიგზაგი რიცხვია (მაგალითები: U=1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, ...)[1] დაარქივებული 2010-01-08 საიტზე Wayback Machine. ,
B_n მე-n ბერნულის რიცხვია,
E_n მე-n ეილერის რიცხვია,

მაშინ სამართლიანია დანარჩენ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციათა შემდეგი განსაზღვრებები:

ტანგენსი

{\begin{aligned}\operatorname {tg} \ x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\[8pt]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\[8pt]&{}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots ,\qquad |x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}

კოსენაკსი

{\begin{aligned}\operatorname {cosec} \ x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\[8pt]&{}=x^{-1}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ,\qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}

სეკანსი

{\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\[8pt]&{}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots ,\qquad |x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}

კოტანგენსი

{\begin{aligned}\operatorname {ctg} \ x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\[8pt]&{}=x^{-1}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots ,\qquad 0<|x|<\pi \end{aligned}}

კომპლექსური არგუმენტისთვის

სინუსი და კოსინუსი კომპლექსური მაჩვენებლიანი ფუნქციის წარმოსახვით და ნამდვილ ნაწილებს ადგენს, შესაბამისად, როცა ამ ფუნქციის არგუმენტი წმინდა წარმოსახვითი რიცხვია:

e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .\,

ამ ტოლობას ეილერის ფორმულა ჰქვია. ეს კავშირი გვაჩვენებს, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები კომპლექსური ცვლადის ფუნქციების გეომეტრიული წარმოსახვისთვის საჭირო მნიშვნელოვანი ხელსაწყოებია. მაგალითი ზემოთ მოყვანილი შემთხვევაა: თუ ერთეულოვან წრეწირის პარამეტრიზაციას e^ix კომპლექსურ სიბრტყეზე განვიხილავთ, მაშინ შესაძლებელია წრეწირის ხელახალი პარამეტრიზაცია კოსინუსისა და სინუსის მეშვეობით.

ეილერის ფორმულის მეშვეობით კოსინუსი და სინუსი კომპლექსურ არგუმენტზე შემდეგნაირად განივრცობა:

\sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\,={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}

\cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\,=\cosh \left(iz\right)

ამ განმარტებების მეშვეობით შესაძლებელია დანარჩენი ოთხი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის კომპლექსურ რიცხვებზე განსაზღვრა:

\operatorname {tg} \,z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}},

\operatorname {ctg} \,z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}},

\sec z={\frac {1}{\cos z}}={\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}},

\operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},

სადაც i² = −1.

გარდა ამისა, ნამდვილი x-ისთვის,

\cos x=\operatorname {Re} (e^{ix})\,

\sin x=\operatorname {Im} (e^{ix})\,

კომპლექსური სინუსი და კოსინუსი არგუმენტის ნამდვილი და წარმოსახვით ნაწილის მეშვეობით შემდეგნაირად იშლება:

\sin(x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\,

\cos(x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\,

კომპლექსური გრაფიკები

ამ გრაფიკებზე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრის არე კომპლექსური სიბრტყეა. ფერი ფუნქციის მნიშვნელობას აღნიშნავს, სიკაშკაშე კი მნიშვნელობის სიდიდეს, ანუ აბსოლუტურ მნიშვნელობას (ნულს შავი შეესაბამება).