წარმოებული

მასალა ვიკიპედიიდან — თავისუფალი ენციკლოპედია
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება

წარმოებული — ცნება მათემატიკურ ანალიზში.

ვთქვათ ფუნქცია განსაზღვრულია წერტილის რაიმე მიდამოში, ხოლო წარმოადგენს ამ მიდამოს -საგან განსხვავებულ ნებისმიერ წერტილს.

სხვაობას ეწოდება არგუმენტის ნაზრდი წერტილში და სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი. , საიდანაც . სხვაობას ეწოდება ფუნქციის ნაზრდი წერტილში და , ან სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი.

შევნიშნოთ, რომ შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაგრამ არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ფუნქციის ნაზრდი კი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი.

განსაზღვრება წერტილში ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდთან ფარდობის ზღვარს, როდესაც არგუმენტის ნაზრდი მიისწრაფვის ნულისაკენ (თუ ეს ზღვარი არსებობს), ამ წერტილში ფუნქციის წარმოებული ეწოდება და , , , ან სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი.,

მაგალითად,y=x2 ფუნქციის წარმოებული x წერტილში არის 2x.
მართლაც

ცალკე განვიხილოთ მუდმივის წარმოებული და ვაცვენოთ, რომ იგი ნულის ტოლია. მართლაც,

მოვიყვანოთ წარმოებულის გეომეტრიული შინაარსი : f(x) ფუნქციის წარმოებული x0 წერტილში წარმოადგენს ამ ფუნქციის გრაფიკის(x0, f(x0))წერტილში გამავალი მხების კუთხურ კოეფიციენტს.

მართლაც, თუ (x0, f(x0)) წერტილში გამავალი AC მხებს განვიხილავთ როგორც წრფეს,რომელიც მიირება AB მონაკვეტიდან, როდესაც B წერტილის მიისწრაფვის A-სკენ, ე.ი. დელტა იქსი მიისწრაფვის ნულისაკენ (იხ. სურ.) მაშინ ცხადია, რომ

და

Graphic.jpg

y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი (x0,y0) წერტილში გამავალი მხების განტოლებას აქვს სახე:

— (1)

სადაც . მართლაც ცხადია, რომ (1) წარმოადგენს (, ) წერტილში გამავალი წრფის განტოლებას(ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებენ (1) განტოლებას) და მისი კუთხური კოეფიციენტია .

გამოვარკვიოთ წარმოებულის მექანიკური შინაარსი. ვთქვათ წერტილის მოძრაობის განტოლებაა , რომლის მიხედვითაც დროის ნებისმიერ მომენტში შეიძლება გამოვიანგარიშოთ განვლილი მანძილი. როგორც ცნობილია, დროის რაიმე მონაკვეთში მონაკვეთში მოძრაობის სასუალო სიჩქარე გამოითვლება ფორმულით:

რომელიც მით უკეთესად ახასიატებს წერტილის სიჩქარეს მომენტში, რაც უფრო მცირეა . ამიტომ

შეიძლება განვიხილოთ, როგორც მყისი სიჩქარე მომენტში.

თუ რაიმე წერტილში ფუნქციას გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას წარმოებადი ეწოდება ამ წერტილში. ფუნქციას ეწოდება წარმოებადი შუალედში, თუ იგი წარმოებადია ამ შუალედის თითოეულ წერტილში.