კომპლექსური რიცხვი

კომპლექსური რიცხვი ვიზუალურად შეიძლება წარმოვადგინოთ როგორც რიცხვთა წყვილი (a, b) რომელიც კომპლექსურ სივრცეში ადგენს ვექტორს. "Re" არის ნამდვილი ღერძი, "Im" არის წარმოსახვითი ღერძი, ხოლო i არის წარმოსახვითი ერთეული რომელიც აკმაყოფილებს ტოლობას i² = −1.

კომპლექსური რიცხვი — რიცხვი, რომელიც გამოისახება როგორც ჯამი $z=x+iy$, სადაც $x$ და $y$ ნამდვილი რიცხვებია, ხოლო $i={\sqrt {-1}}$, რომელსაც წარმოსახვითი რიცხვი ეწოდება და მისი კვადრატი არის -1. კომპლექსური რიცხვები ნამდვილი რიცხვების გაფართოებაა.

$x$ უწოდებენ $z=x+iy$ კომპლექსური რიცხვის ნამდვილ, ხოლო $y$ წარმოსახვით ნაწილს. აღნიშნავენ $\operatorname {Re} (z)$ და $\operatorname {Im} (z)$ შემოკლებებით. მაგალითად, თუ $z=-3.5+2i$, მაშინ:

$\operatorname {Re} (z)=\operatorname {Re} (-3.5+2i)=-3.5\$

$\operatorname {Im} (z)=\operatorname {Im} (-3.5+2i)=2.\$.

რიცხვი წარმოსახვითია თუ y≠0 წინააღმდეგ შემთხვევაში რიცხვი ნამდვილი ხდება. კომპლექსურ რიცხვებთან დაკავშირებულ ტერმინებში, განსაკუთრებით ტრადიციული წარმოშობისა, კომპლექსური რიცხვის გაგების განვითარების რთულმა ისტორიულმა პროცესმა ჰპოვა ასახვა.

z = x + yi კომპლექსური რიცხვის აბსოლუტური სიდიდე (ასევე: მოდული, ამპლიტუდა) გამოითვლება როგორც შესაბამისი ვექტორის სიგრძე:

$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

კომპლექსური რიცხვის არგუმენტი ანუ ფაზა წარმოადგენს კუთხეს რადიუსსა და რეალური ნაწილის ღერძს შორის, და ჩაიწერება როგორც $\arg(z)$. აბსოლუტური მნიშვნელობის მსგავსად, არგუმენტი მიიღება მართკუთხა საკოორდინატო სისტემის $x+yi$ ფორმიდან შემდეგნაირად:

$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}$

როგორც წესი, არგუმენტი გამოისახება რადიანებში.