წარმოებული

წარმოებული — მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ერთი ნამდვილი ცვლადის $f$ ფუნქციის შემთხვევაში გვიჩვენებს რაიმე $x_{0}$წერტილის მიდამოში არგუმენტის $x-x_{0}$ ცვლილებასთან შედარებით როგორია ფუნქციის მნიშვნელობის შესაბამისი ცვლილება $f(x)-f(x_{0})$. სხვა სიტყვებით, გვიჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მოცემული $x_{0}$ წერტილის მიდამოში.

განსაზღვრება: ერთი ნამდვილი ცვლადის $f:[a,\;b]\to R$ ფუნქციის წარმოებული $x_{0}\in ]a,\;b[$ წერტილში აღინიშნება სიმბოლოთი $f'(x_{0})$ და

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},$

თუ უკანასკნელი ზღვარი სასრულია. როდისაც $x_{0}=a$ ან $x_{0}=b$, მაშინ უკანასკნელ ტოლობაში განვიხილავთ შესაბამისად მარჯვენა და მარცხენა ზღვრებს, ხოლო რიცხვებს $f'(a)$ და $f'(b)$ ვუწოდებთ შესაბამისად მარცხენა და მარჯვენა წარმოებულებს. თუ $x_{0}$ წერტილში არგუმენტისა და ფუნქციის ნაზრდებისათვის შემოვიღებთ შესაბამისად აღნიშვნებს $\Delta x=x-x_{0}\;\;{\text{დ ა}}\;\;\Delta f(x_{0})=f(x)-f(x_{0})$, მაშინ წინა ტოლობა შეიძლება შემდეგი ექვივალენტური ფორმითაც ჩაიწეროს

$(1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\;\;{\text{ან}}\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x_{0})}{\Delta x}}.$

წარმოებულის განსაზღვრებიდან ცხადია, რომ ფუნქცია $\varepsilon (x)={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f'(x_{0})$ აკმაყოფილებს ტოლობას $\lim \limits _{x\to x_{0}}\varepsilon (x)=0$. ამიტომ უტოლობიდან $|f(x)-f(x_{0})|\leq |f'(x_{0})(x-x_{0})|+|\varepsilon (x)(x-x_{0})|$, გამომდინარეობს $f$ ფუნქციის უწყვეტობა $x_{0}$ წერტილში. ამდენად $f'(x_{0})$ წარმოებულის არსებობიდან გამომდინარეობს $f$ ფუნქციის უწყვეტობა $x_{0}$ წერტილში. შეიძლება ფუნქცია იყოს უწყვეტი რაიმე წერტილში მაგრამ არ იყოს წარმოებადი ამ წერტილში. მაგალითად უწყვეტ ფუნქციას $f(x)=|x|$ არ გააჩნია წარმოებული $f'(0)$. მეტიც, 1872 წელს ვაიერშტრასმა ააგო პირველი მაგალითი უწყვეტი ფუნქციისა (ვაიერშტრასის ფუნქცია), რომელსაც არცერთ წერტილში არ გააჩნია წარმოებული.

თუ ფუნქციას $f:[a,\;b]\to R$ ყოველ $x_{0}\in [a,\,b]$ წერტილში გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას, რომელიც ყოველ $x_{0}\in [a,\,b]$ რიცხვს შეუსაბამებს რიცხვს $f'(x_{0})$ აღვნიშნავთ სიმბოლოთი $f'$ და ვუწოდებთ $f$ ფუნქციის წარმოებულს. ცნობილია, რომ ყოველ წერტილში წარმოებადი $f$ ფუნქციის წარმოებულ $f'$ ფუნქციას მხოლოდ მეორე გვარის წყვეტები შეიძლება ჰქონდეს.

თუ $f'$ ფუნქცია წარმოებადია, მაშინ მისი გაწარმოებით მივიღებთ ფუნქციას $f''$, რომელსაც ეწოდება $f$ ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული. ანალოგიურად $f''$ ფუნქციის წარმოებადობის შემთხვევაში მივიღებთ $f'''$ -მესამე რიგის წარმოებულს. საზოგადოდ $n-$ური რიგის წარმოებულს აღნიშნავენ სიმბოლოთი $f^{(n)}$და

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^{(n)}(x_{0})=(f^{(n-1)}(x_{0}))'=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0})}{x-x_{0}}}\;\;\;\;(n\in N),$

სადაც $f^{(0)}:=f$ . ხშირად, ლაგრანჟის მიერ შემოღებული $f',f'',\cdots ,f^{(n)}$, აღნიშვნების ნაცვლად გამოიყენება ლაიბნიცის აღნიშვნები ${\frac {df}{dx}},{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}},\cdots ,{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$ შესაბამისად, ხოლო დაბალი რიგის წარმოებულებისათვის ნიუტონის მიერ შემოღებული აღნიშვნები ${\dot {f}},{\ddot {f}}.$ ლაიბნიცის მიხედვით, წარმოებულის მნიშვნელობისათვის $x_{0}$ წერტილში გამოიყენება აღნიშვნები ${\textstyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}{\bigg \vert }_{x=x_{0}}\;\;{\text{ან}}\;\;\;\;{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x_{0})}$.

თუ ფუნქციას გააჩნია თავის განსაზღვრის არეზე უწყვეტი წარმოებული, მას უწოდებენ ხოლმე გლუვს.

წარმოებულის გეომეტრიული შინაარსი

ნახ.1

ავაგოთ ფუნქციის გრაფიკის მხები წერტილში. ამისთვის ჯერ გავიხსენოთ მხების ლაიბნიცისეული განსაზღვრება, რომ მოცემული წირის $A$ წერტილში გავლებული მხები არის წრფე, რომელიც გადის $A$ და მასთან უსასრულოდ მიახლოვებულ $B$ წერტილებზე. მოყვანილი განსაზღვრება პირდაპირ გვკარნახობს როგორ უნდა ავაგოთ მოცემული წირის მოცემულ $A$ წერტილზე გამავალი მხები (ნახ.1). უწყვეტი $f$ ფუნქციის გრაფიკის $A(x_{0},\;f(x_{0}))$ წერტილში მხების ასაგებად, $x_{0}$ წერტილის მცირე მიდამოში განვიხილოთ ნებისმიერი $x_{1}:=x_{0}+\Delta x\;(\Delta x\not =0)$ წერტილი და $f$ ფუნქციის გრაფიკზე ავიღოთ შესაბამისი $B(x_{0}+\Delta x,\;f(x_{0}+\Delta x))$ წერტლი. ადვილი შესამოწმებელია, რომ $A$ და $B$ წერტილების შემაერთებელი წრფის (გრაფიკის ქორდის) განტოლება იქნება

$(2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ell _{\text{ქორდ}}(x)={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}(x-x_{0})+f(x_{0})$.

ნახ. 2

ახლა თუ $x_{1}$ წერტილით მივუახლოვედებით $x_{0}$ წერტილს, შესაბამისად $B$ წერტილიც მიუახლოვდება $A$ წერტილს და $\ell _{\text{ქორდ}}$ ქორდა გადაიქცევა მხებად თუ კი ასეთი არსებობს. ანუ $\ell _{\text{მხებ}}$მხების განტოლების მისაღებად საჭიროა (2) ტოლობაში გადავიდეთ ზღვარზე $x_{1}\to x_{0}\;(\Delta x\to 0)$, და თუ ეს ზღვარი არსებობს, (1) ტოლობის გათვალისწინებით მივიღებთ

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ell _{\text{მხებ}}(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$.

უკანასკნელი ტოლობის თანახმად ფუნქციის წარმოებული წერტილში ყოფილა ამ წერტილში გავლებული მხების განტოლების $k$ კუთხური კოეფიციენტის ტოლი, რომელიც როგორც ცნობილია განისაზღვრება ტოლობიდან $k=\tan \alpha$, სადაც $\alpha$ არის კუთხე მხებსა და $OX$ ღერძის დადებით მიმართულებას შორის (ნახ. 2), და ამიტომ სამართლიანია ტოლობა

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\tan \alpha$.

კავშირი ფუნქციასა და მის პირველ და მეორე წარმოებულებს შორის

წამოებულის განსაზღვრების თანახმად თუ $f'(x_{0})>0$ მაშინ ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}>0$ როდესაც $x$ საკმარისად ახლოსაა $x_{0}$ წერტილთან, რაც ნიშნავს $f$ ფუნქციის მკაცრად ზრდადობას $x_{0}$ წერტილში. ანალოგიურად თუ $f'(x_{0})<0$ მაშინ ფუნქცია $f$ მკაცრად კლებადია $x_{0}$ წერტილში. თუ $\displaystyle f'(x_{0})=0$, მაშინ $f$ ფუნქცია $x_{0}$ წერტილში შეიძლება იყოს როგორც ზრდადი ისე კლებადი (როდესაც წარმოებული არ იცვლის ნიშანს $x_{0}$ წერტილში, ასეთებია ვთქვათ $x_{0}=0$ წერტილში მკაცრად ზრდადი $x^{3}$ და მკაცრად კლებადი $-x^{3}$ ფუნქციები) ან სულაც შეიძლება გააჩნდეს ექსტრემუმი. კერძოდ $f$ ფუნქციას გააჩნია ლოკალური მაქსიმუმი (მინიმუმი) თუ $\displaystyle f'(x_{0})=0$ და $x_{0}$ წერტილში წარმოებული ნიშანს იცვლის დადებითიდან უარყოფითზე (უარყოფითიდან დადებითზე).

აგრეთვე ადვილი საჩვენებელია, რომ თუ $f''(x_{0})<0\;\;(f''(x_{0})>0)$ მაშინ $f$ ფუნქცია ამოზნექილია (ჩაზნექილია) $x_{0}$ წერტილის გარკვეულ მცირე მიდამოში.

თუ $f''(x_{0})=0$ და $x_{0}$ წერტილში $f''$ იცვლის ნიშანს, მაშინ $x_{0}$ წერტილს ეწოდება $f$ ფუნქციის გადაღუნვის წერტილი.

გაწარმოების (წარმოებულის გამოთვლის) წესები და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

ელემენტარული და მათი შებრუნებული ფუნქციების წარმოებულები მოიცემა შემდეგი ცხრილით:

1. $c'=0$ (მუდმივი ფუნქციის წარმოებული ნულია); $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ 5. $(\cos x)'=-\sin x,\;\;\;(\sin x)'=\cos x$;

2. $(x^{\alpha })'=\alpha x^{\alpha -1}\;(\alpha \in R)$, კერძოდ $x'=1$; $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ 6. $(\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\;\;(x\not ={\frac {\pi }{2}}+\pi k),\;\;\;$ $(\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}\;\;(x\not =\pi k)$;

3. $(a^{x})'=a^{x}\ln a\;\;(a>0)$, კერძოდ $(e^{x})'=e^{x}$; $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ 7. $(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\;\;\;(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;\;x\in (-1,\;1)$;

4. $(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}\;\;(a>1)$, კერძოდ $(\ln x)'={\frac {1}{x}}$; $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ 8. $(\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}},\;\;\;(\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$.

თუ $f$ და $g$ წარმოებადი ფუნქციებია და $\alpha \in R$, მაშინ გაწარმოების შემდეგი წესებია სამართლიანი: $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\alpha f)'=\alpha f',\;\;\;\;(f+g)'=f'+g',\;\;\;\;(fg)'=f'g+fg',\;\;\;\;{\Bigl (}{\frac {f}{g}}{\Bigr )}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\;\;(g\not =0),$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)={\frac {df(y)}{dy}}{\bigg \vert }_{y=g(x)}{\frac {dg(x)}{dx}},\;\;\;\;\;\;(f^{-1})'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}.$

მრავალი ცვლადის ფუნქციის კერძო და მიმართული წარმოებულები

ვთქვათ $D\subset R^{n}$ და ყოველ $x=(x_{1},\cdots ,x_{n})\in D$ ვექტორს გარკვეული წესით შეესაბამება ერთადერთი $y\in R$, ანუ მოცემული გვაქვს $n$ ცვლადის $f:D\to R$ ფუნქცია. ჩავთვალოთ რომ $x_{i}\;(1\leq i\leq n)$ ცვლადის გარდა ყველა სხვა ცვლადს მიენიჭა ფიქსირებული მნიშვნელობა, ანუ $x_{1}=a_{1},\cdots ,x_{i-1}=a_{i-1},x_{i+1}=a_{i+1},\cdots ,x_{n}=a_{n}$, მაშინ $g(x_{i}):=f(a_{1},\cdots ,a_{i-1},x_{i},a_{i},\cdots ,a_{n})$ იქნება ერთი $x_{i}$ ცვლადის ფუნქცია. თუ $g$ ფუნქციას გააჩნია წარმოებული $x_{i}=a_{i}$ წერტილში, მაშინ რიცხვს $g'(a_{i})$ ვუწოდებთ $f$ ფუნქციის კეძო წარმოებულს $x_{i}$ ცვლადით $a:=(a_{1},\cdots ,a_{i-1},a_{i},a_{i},\cdots ,a_{n})$ წერტილში და აღვნიშნავთ სიმბოლოთი ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})$, ანუ

$\;\;\;\;\;{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\cdots a_{n})-f(a_{1},\cdots ,a_{n})}{h}}$.

თუ ყოველ $(a_{1},\cdots ,a_{n})\in D$ წერტილს შეესაბამება რიცხვი ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})$, მივიღებთ $n$ ცვლადის ფუნქციას, რომელსაც ეწოდება $f$ ფუნქციის კეძო წარმოებული $x_{i}$ ცვლადით და აღინიშნება სიმბოლოთი ${\frac {\partial f(x_{1},\cdots ,x_{n})}{\partial x_{i}}}$, $\;\;\;\;{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\cdots ,x_{n})$, ან თუ ეს არ იწვევს გაუგებრობას ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$.

ნახ. 3

განვიხილოთ ვექტორი $v:=(v_{1},\cdots ,v_{n})$. ადვილი დასანახია, რომ თუ $h\to 0$ $(h\in R)$, მაშინ ვექტორი $x:=a+vh$, უახლოვდება $a:=(a_{1},\cdots ,a_{n})$ ვექტორს $v$ ვექტორის მიმართულებით, რადგან $x-a=vh$ და $v$ ვექტორები კოლინეარულია (ეს განსაკუთრებით თვალნათელია თუ n=2 (იხ. ნახ. 3)) . ნათქვამიდან ცხადია რატომ ეწოდება რიცხვს

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D_{v}f(a):=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(a+vh)-f(a)}{h}}$,

$f$ ფუნქციის წარმოებული $a$ წერტილში $v$ მიმართულებით. ადვილი დასამტკიცებელია მიმართული წარმოებულის გამოსათვლელი ფორმულა

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D_{v}f(x)=(\triangledown f\cdot v)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{i}}}v_{i}$,

სადაც $(\quad \cdot \quad )$ არის სკალარული ნამრავლი და $\triangledown f={\Bigl (}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{n}}}{\Bigr )}$ ანუ $f$ ფუნქციის გრადიენტია.

კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის წარმოებული

ვთქვათ $C$ არის კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლე, $D\subset C$ არის არე, $z_{0}\in D$ და განსაზღვრული გვაქვს კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია $f:D\to C.$ მაშინ

$(3)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(z_{0})=\lim \limits _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.$

მნიშვნელოვანია იმის გათვალისწინება, რომ კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრების თანახმად (3) ტოლობაში მონაწილე ზღვარი არსებობს მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ ზღვრის მნიშვნელობა დამოუკიდებელია $z$-ის $z_{0}$ რიცხვისკენ მისწრაფების გზისაგან. უკანასკნელი პირობა საკმარისად მძიმე შეზღუდვაა და განაპირობებს იმას, რომ კომპლექსური ცვლადის $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ ფუნქციას სადაც $z=x+iy$, გააჩნია წარმოებული $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ წერტილში მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ $u$ და $v$ ფუნქციები დიფერენცირებადია $(x_{0},y_{0})$ წერტილში და ამ წერტილში სრულდება ე.წ. კოში-რიმანის პირობები (ხშირად დალამბერ-ეილერის პირობებადაც მოიხსენიებენ)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial x}}={\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial y}},\;\;\;{\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial y}}=-{\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial x}}$.

თუ კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია წარმოებადია $D$ არეში, ამბობენ რომ ის ანალიზური ფუნქციაა ამ არეში. აღმოჩნდა რომ თუ ფუნქცია ანალიზურია, მაშინ მას გააჩნია ნებისმიერი რიგის წარმოებულები, კერძოდ სამართლიანია შემდეგი თეორემა

კოშის თეორემა (1842 წ.) თუ $f$ ფუნქცია ანალიზურია $D$ არეში და უწყვეტია ${\overline {D}}$ ($D$-ს ჩაკეტვა) სიმრავლეზე, მაშინ მას აქვს ნებისმიერი რიგის წარმოებული ამ არეში და სამართლიანია ინტეგრალური წარმოდგენა

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma _{D}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi \;\;\;(z\in D),$

სადაც $\gamma _{D}$ არის $D$ არის საზღვარი.