იმპულსის შენახვის კანონი

იმპულსის შენახვის კანონი (ან მოძრაობის რაოდენობის შენახვის კანონი) ამტკიცებს, რომ ჩაკეტილ სისტემაში სხეულების იმპულსების ჯამი მუდმივია (ანუ შენახვადი სიდიდეა). კლასიკურ მექანიკაში იმპულსის შენახვის კანონი შეიძლება გამოყვანილი იქნას ნიუტონის კანონებიდან. თუმცა ეს კანონი სამართლიანია იმ შემთხვევაშიც, როდესაც ნიუტონის კანონები აღარაა სამართლიანი, მაგალითად ფარდობითობის თეორიაში და კვანტურ მექანიკაში.

ნიოტერის თეორემის თანახმად ფიზიკის ყველა შენახვის კანონი დაკავშირებულია გარკვეულ (უწყვეტ) ფიზიკურ სიმეტრიასთან. იმპულსის შენახვის კანონი პირდაპირ კავშირშია სივრცის ერთგვაროვნებასთან.

გამოყვანა ნიუტონის კანონებიდან

განვიხილოთ ძალის განმარტება:

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}.

გადავწეროთ ის N ნაწილაკისგან შემდგარი სისტემისთვის:

\sum _{n=1}^{N}{\frac {\vec {dp_{n}}}{dt}}=\sum _{n=1}^{N}\sum _{m=1}^{N}\ {\vec {F}}_{n,m},\qquad m\neq n,\qquad \qquad (1)

აქ ჯამდება ყველა ძალა, რომელიც მოქმედებს n-ე ნაწილაკზე m-ე ნაწილაკის მხრიდან. ნიუტონის მესამე კანონის თანახმად ${\vec {F}}_{a,b}$ და ${\vec {F}}_{b,a}$ ძალები აბსოლუტური მნიშვნელობით ტოლია და მიმართულებით საპირისპიროდ:

{\vec {F}}_{a,b}=-{\vec {F}}_{b,a}.

მაშინ, ამ ტოლობის (1) განტოლებაში ჩასმით მივიღებთ, რომ განტოლების მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია, ანუ:

\sum _{n=1}^{N}{\frac {d{\vec {p}}_{n}}{dt}}=0

ან, ექვივალენტურად

\!\qquad {\frac {d}{dt}}\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}=0.

როგორც ცნობილია, თუ რაიმე სიდიდის წარმოებული ნულის ტოლია, მაშინ ეს სიდიდე მუდმივია გაწარმოების ცვლადით. ანუ ჩაკეტილი სისტემის ჯამური იმპულსი შენახვადი სიდიდეა:

\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}\qquad \!

(დროში მუდმივი ვექტორი).

კავშირი სივრცის ერთგვაროვნებასთან

ნიოტერის თეორემის თანახმად ყველა შენახვის კანონი დაკავშირებულია სისტემის ევოლუციის აღმწერი განტოლებების გარკვეულ სიმეტრიასთან. სახელდობრ, იმპულსის შენახვის კანონი ექვივალენტურია სივრცის ერთგვაროვნების, ანუ იმ დაშვების, რომ ნებისმიერი ფიზიკური სისტემის აღმწერი განტოლებები არ არის დამოკიდებული ათვლის სისტემის მდებარეობაზე სივრცეში. ქვმოთ მოცემულია ამ დებულების გამოყვანა უმარტივეს შემთხვევაში ლაგრანჟის ფორმალიზმის გამოყენებით.

გამოყვანა ლაგრანჟის ფორმალიზმის გამოყენებით

განვიხილოთ თავისუფალი სხეულის ლაგრანჟიანი ${\mathcal {L}}\equiv {\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t),$ რომელიც დამოკიდებულია განზოგადებულ კოორდინატებზე $q_{i}\,,$ , სიჩქარეებზე ${\dot {q}}_{i}$ და t დროზე . აქ წერტილი q თავზე აღნიშნავს დროით წარმოებულს, ${\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\partial q_{i}}{\partial t}}.$ ათვლის სისტემად ავიღოთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემა. მაშინ $q_{i}={\vec {r}}_{a},\ {\dot {q}}_{i}={\vec {v}}_{a}$ ყველა $\!a$ ნაწილაკისთვის. ყველა ნაწილაკის რადიუს-ვექტორს მივანიჭოთ რაღაცა ნაზრდი ( ${\vec {r}}_{a}\to {\vec {r}}_{a}+{\vec {\xi }}$ , სადაც ${\vec {\xi }}\equiv {\overrightarrow {\mathrm {const} }}.$ ). სივრცის ერთგვაროვნბიდან გამომდინარე ამითი მოძრაობის განტოლებები არ უნდა შეიცვალოს. ლაგრანჟიანის ცვლილება (ვარიაცია) იქნება :

\delta {\mathcal {L}}=\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}}\delta {\vec {r}}_{a}={\vec {\xi }}\ \sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}},

სადაც აჯამვა ხდება ყველა ნაწილაკის მიხედვით. ვინაიდან ნარდი არ ცვლის მოძრაობის განტოლებებს, ლაგრანჟიანის ვარიაცია ნულის ტოლი უნდა იყოს: $\delta {\mathcal {L}}=0.$ . იმის გათვალისწინებით, რომ ${\vec {\xi }}$ ვექტორი ნებისმიერია, ბოლო პირობა გვაძლევს:

\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}}=0.

ლაგრანჟის განტოლების გამოყენებით მივიღებთ:

\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}}=\sum _{a}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {v}}_{a}}}={\frac {d}{dt}}\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {v}}_{a}}}=0.

ეს ნიშნავს, რომ დიფერენციალის ქვეშ მდგომი გამოსახულება მუდმივი სიდიდეა განსახილველი სისტემისთვის. ეს გამოსახულება სწორედ არის სისტემის ჯამური იმპულსი:

{\vec {P}}=\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {v}}_{a}}}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}.

.

იმის გათვალისწინებით, რომ თავისუფალი ნაწილაკის ლაგრანჟიანი არის ${\mathcal {L}}={\frac {mv^{2}}{2}},$ , მარტივად შეიძლება დავრწმუნდეთ, რომ ეს გამოსახულება ემთხვევა იმპულსის გამოსახულებას ნიუტონის ფორმალიზმში:

{\vec {P}}=\sum _{a}m_{a}{\vec {v}}_{a}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}.

რელატივისტური თავისუფალი ნაწილაკისთვის ლაგრანჟიანს სხვა სახე აქვს Для: ${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},$ რასაც იმპულსის რელატვისტურ განმარტებამდე მივყავართ: