მიმატება

3 + 2 = 5 ვაშლი, პოპულარული არჩევანი სახელმძღვანე-ლოებში

მიმატება, შეკრება (აღინიშნება პლუსის სიმბოლოთი $+$) — არითმეტიკის ოთხი ძირითადი მოქმედებიდან ერთ-ერთი (დანარჩენი სამი არის გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა). ორი ნატურალური რიცხვის მიმატება გვაძლევს ამ მნიშვნელობათა ჯამს. მარჯვნივ სურათზე მოცემული მაგალითი გვიჩვენებს სამი და ორი ვაშლის ორ სვეტს, საერთო ჯამით ხუთი ვაშლი. ეს იგივეა, რაც მათემატიკური გამოთქმა: „3 + 2 = 5“ (ანუ „3-ს მივუმატოთ/პლუს 2 ტოლია 5-ის“).

შეკრებას აქვს რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება , მას გააჩნია: ჯუფთებადობის კანონი, გადანაცვლებადობისა და იგივეობის თვისება. ჯუფთებადობის თვისება გვეუბნება, რომ შესაკრებთა ჯგუფების გადანაცვლება ჯამს არ ცვლის: $(4+7)+2=4+(7+2)$. გადანაცვლებადობის თვისების თანახმად, შესაკრებთა გადანაცვლებით ჯამი არ იცვლება: $2+3=3+2$. იგივეობის თვისება ნიშნავს იმას, რომ 0-ისა და ნებისმიერი სხვა რიცხვის ჯამი ამ რიცხვის ტოლია, მაგალითად: $0+13=13$, $0+4=4$.

შეკრების შესრულება ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი რიცხვითი დავალებაა. ძალიან მცირე რიცხვების დამატება შეუძლიათ ჩვილებსაც კი; ყველაზე ძირითადი დავალება, 1 + 1, შეიძლება შეასრულოს ხუთი თვის ასაკის ჩვილმა. დაწყებით განათლებაში მოსწავლეებს ასწავლიან რიცხვების შეკრებას ათობით სისტემაში, დაწყებული ერთნიშნა რიცხვებით და თანდათან უფრო რთული ამოცანების ამოხსნით გაგრძელებული. მიმატების მექანიკური დამხმარე საშუალებები უძველესი აბაკიდან თანამედროვე კომპიუტერებამდე მოსული, სადაც კვლევები ყველაზე ეფექტურად მიმატების ხერხებზე დღემდე გრძელდება.

აღნიშვნა და ტერმინოლოგია

მიმატების (პლუსის) ნიშანი

მიმატება იწერება შესაკრებებს შორის პლუსის ნიშნის (+) გამოყენებით; ჯამი გამოისახება ტოლობის ნიშნით ($=$). Მაგალითად,

$7+5=12$ (შვიდს პლუს 5 უდრის თორმეტს)

$2+5=7$ (ორს პლუს ხუთი უდრის შვიდს)

$2+2+2+2=8$

ქვეშმიწერით შეკრება — უნდა დაემატოს ერთი სვეტის რიცხვები, ხაზის ქვემოთ მოცემულია ჯამი.

ასევე არის სიტუაციები, როდესაც დამატება არის „ნაგულისხმევი“, მიუხედავად იმისა, რომ სიმბოლო ($+$) არ ჩანს:

• მთელი რიცხვი, რომელსაც მოჰყვება წილადი, ნიშნავს ამ ორის ჯამს, რომელსაც უწოდებენ შერეულ რიცხვს. Მაგალითად,
• $4{\frac {2}{5}}=4+{\frac {2}{5}}=4.4$

თვისებები

გადანაცვლებადობის თვისება

4 + 2 = 2 + 4 (გამოსახულია ბლოკებით)

მიმატება კომუტაციურია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია შესაკრები წევრები გადავანაცვლოთ და იგივე პასუხს მივიღებთ:

a + b = b + a .

$a+4=4+a$

მიმატების კომუტაციურიობის თვისება ცნობილია როგორც „მიმატების გადანაცვლებადობის თვისება“. გამრავლება ასევე კომუტაციურია, მაგრამ გამოკლება და გაყოფა — არა.

ჯუფთებადობის კანონი

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 წნელებით გამოსახული

შეკრება ასოციაციურია, რაც ნიშნავს, რომ სამი ან მეტი რიცხვის შეკრებისას, მოქმედებების თანმიმდევრობას მნიშნელობა არ აქვს და ჯამი იგივე იქნება.

მაგალითად, გამოსახულება a + b + c უნდა განისაზღვროს, როგორც (a + b) + c თუ a + ( b + c )? იმის გათვალისწინებით, რომ მიმატება ასოციაციურია, არჩევანს აზრი არ აქვს, რადგან ორივე ერთ პასუხს იძლევა. ნებისმიერი a, b და c სამი რიცხვისთვის, შემდეგი ყოველთვის ჭეშმარიტია: (a + b) + c = a + (b + c) . მაგალითად, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) .

როდესაც მიმატება გამოიყენება სხვა მოქმედებებთან ერთად, მნიშვნელოვანი ხდება მოქმედებების თანმიმდევრობა. მოქმედებათა სტანდარტული თანმიმდევრობით, შეკრება უფრო დაბალი პრიორიტეტისაა, ვიდრე ახარისხება, ფესვის ამოღება, გამრავლება და გაყოფა, მაგრამ თანაბარი პრიორიტეტი ენიჭება გამოკლებასთან.

შეკრების იგივეობის თვისება

5 + 0 = 5 (წერტილებით)

ნებისმიერი რიცხვისთვის ნულის მიმატება არ ცვლის რიცხვს; ეს ნიშნავს, რომ ნული არის მიმატების ნეიტრალური ელემენტი. ყოველი a-სთვის:

a + 0 = 0 + a = a.

ეს თვისება პირველად ბრაჰმაგუფთას ბრაჰმასფუტასიდდანტაში აღმოჩნდა 628 წელს. მან შეიმუშავა სამი სხვადასხვა კანონი, იმისდა მიხედვით, არის თუ არა a უარყოფითი, დადებითი ან ნულოვანი. გამოიყენა სიტყვები და არა ალგებრული სიმბოლოები. მოგვიანებით ინდოელმა მათემატიკოსებმა კონცეფცია დახვეწეს.

საზომი ერთეულები

ფიზიკური სიდიდეების შეკრებისათვის საჭიროა საერთო საზომი ერთეულის გამოყენება. მაგალითად , 40 გრამის მიმატება 240 გრამისათვის გვაძლევს 280 გრამს ($40+240=280$), თუმცა 40 გრამის მიმატება 1 კილოგრამისთვის არ იქნება $40g+1kg\neq {}41kg$, ამ ორის შესაკრებად ან გრამი უნდა გამოვსახოთ კილოგრამის სახით, ან პირიქით: $40g+1000g=1040g$, ან $0.04kg+1kg=1.04kg$.

რაციონალური რიცხვების (წილადების) შეკრება

რაციონალური რიცხვების შეკრება შეიძლება გამოითვალოს უმცირესი საერთო მნიშვნელის გამოყენებით, მაგრამ უფრო მარტივი განმარტება შეიძლება წარმოვადგინოთ მთელი რიცხვებითა და გამრავლებით:

• განვსაზღვროთ ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.$

მაგალითად, ჯამი ${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}$, თუმცა ზოგჯერ უმცირესი საერთო მნიშვნელი მათ ნამრავლზე უფრო მცირეა, მაგალითად: ${\frac {3}{4}}+{\frac {5}{2}}={\frac {3}{4}}+{\frac {5\times 2}{4}}={\frac {13}{4}}$ , ეს იგივეა ,რაც ${\frac {3}{4}}+{\frac {5}{2}}={\frac {6+20}{8}}={\frac {26}{8}}={\frac {13}{4}}$.

წილადების შეკრება გაცილებით მარტივია, როცა მნიშვნელები ერთნაირია; ამ შემთხვევაში, შესაძლებელია უბრალოდ მრიცხველების შეკრება და მნიშვნელის უცვლელად დატოვება: ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$, ან ${\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}$.