ტოპოლოგია

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება
Disambig-dark.svg სიტყვას „ტოპოლოგია“ აქვს სხვა მნიშვნელობებიც, იხილეთ ტოპოლოგია (მრავალმნიშვნელოვანი).

ტოპოლოგია (ბერძნ. topos - ადგილი, logos - სწავლა) — მათემატიკის დარგი, რომლის შესწავლის ობიექტებია ტოპოლოგიური სივრცეები, უწყვეტი ასახვები, და დაკავშირებული მათემატიკური ცნებები. მისი მეშვეობით ხდება მათემატიკაში ისეთი ფუნდამენტური ცნებების ფორმალიზება, როგორიცაა ბმულობა, კრებადობა, უწყვეტობა და ა.შ. მე–20 საუკუნის დასაწყისში დარგის დაარსებისას, მას geometria situs (ლათ. "ადგილის გეომეტრია") და analysis situs (ლათ. "ადგილის ანალიზი" ) უწოდებდნენ. 1925-75 წლებში მატემატიკის განვითარების ყველაზე მნიშვნელოვანი სფერო იყო.

მობიუსის ლენტი, ერთმხრიანი ზედაპირი. მსგავსი ფიგურები ხშირად გვხვდება ტოპოლოგიაში


ელემენტარული აღწერა[რედაქტირება]

ტოპოლოგიის ერთ-ერთი თეორემა პოპულარულ ენაზე შემდეგნაირად შეიძლება ჩამოყალიბდეს: "შეუძლებელია თმით დაფარული ბურთის მთლიანად გლუვად დავარცხნა". ეს ინტუიციურად გასაგები ფაქტია. ფორმალურად კი იგივე თეორემა შემდეგში მდგომარეობს: "სფეროზე არ არსებობს არაქრობადი უწყვეტი მხები ვექტორი", და მისი დამტკიცება არატრივიალურია. ეს თეორემა სამართლიანია არა მარტო სფეროსათვის არამედ ყველა შეკრული ზედაპირისთვის ნახვრეტების გარეშე (გარკვეული პირობების დაკმაყოფილების შემთხვევაში) და უკავშირდება "გეომეტრიული ფიგურების" გარკვეულ ზოგად თვისებებს. ამ თვისებების გამოკვლევა ტოპოლოგიის საკითხია.

ხშირად ტოპოლოგიას აღწერენ როგორც გეომეტრიის ნაწილს, გეომეტრიული ობიექტების უზოგადესი თვისებების შესახებ, თვისებების რომლებიც უცვლელი რჩება უწყვეტი დეფორმაციების დროს (შეკუმშვა, გაწელვა, მოღუნვა; იხ. ნახატი ქვემოთ). გეომეტრიული ფიგურები, რომლებიც ერთიმეორისგან ამგვარი უწყვეტი დეფორმაციების საშუალებით მიიღება, ტოპოლოგიის თვალსაზრისით არ განსხვავდება (ჰომეომორფიზმი).

Homeo tasse.png
ფინჯანი, გირი და ბლითი "ტოპოლოგიურად" ერთიდაიგივე გეომეტრიულ ფიგურებია


ალგებრული ტოპოლოგიის ზოგადი მეთოდია სხვადასხვა "გეომეტრიული" ობიექტებისთვის უფრო გამოთვლადი "ალგებრული" (დისკრეტული) ინვარიანტების შეთანადება. ამბობენ რომ ალგებრული ტოპოლოგია სწავლობს გეომეტრიას, ალგებრის გამოყენებით. (ტოპოლოგიის სხვადასხვა დარგების შესახებ იხილეთ ქვემოთ).

ტოპოლოგიამ უმთავრესი გავლენა მოახდინა მათემატიკის ისეთ დარგებზე როგორიცაა: ალგებრული გეომეტრია, დიფერენციალური გეომეტრია, დინამიკური სისტემები, დიფერენციალური განტოლებები და სხვ.

ისტორია[რედაქტირება]

ტოპოლოგიური სივრცეები ბუნებრივად ჩნედება მათემატიკურ ანალიზში და გეომეტრიაში. როგორც მათემატიკის დამოუკიდებელი დისციპლინა ტოპოლოგია ჩამოყალიბდა 20–ე საუკუნის დასაწყისში და მალევე მათემატიკური კვლევის ერთ-ერთი უმთავრესი მიმართულება გახდა. ტოპოლოგიის წარმოშობას წინ უძღოდა 19–ე საუკუნის ბოლოს გეორგ კანტორის მიერ სიმრავლეთა თეორიის შექმნა. ტოპოლოგია არის მათემატიკის პირველი დარგი, რომლის ფორმულირება სიმრავლეთა თეორიის მეშვეობით განხორციელდა. ეს, თავის მხვრივ, გახდა სიმრავლეთა თეორიის თანამედროვე მათემატიკს დაფუძნების სტანდარტულ საშუალებად ქცევის მნიშვნელოვანი პირობა.

ტოპოლოგიის წარმოშობისათვის განსაკუთრებით აღსანიშნავია ანრი პუანკარეს შრომები, სადაც პირველად ჩნდება ჰომოლოგიის და ჰომოტოპიის ცნებები (1895). მოგვიანებით, 1906 წელს მორის ფრეშემ ფუნქციათა სივრცეებზე სხვადასხვა მათემატიკოსების შრომებიდან ერთიანი თეორიის შექმნის მიზნით შემოიტანა მეტრიკული სივრცის ცნება. სახელდობრ, ტოპოლოგიური სივრცის განმარტებები კი პირველად ჩამოაყალიბეს ფელიქს ჰაუსდორფმა (1914) და ოდნავ უფრო ზოგადი სახით კაზიმირ კურატოვსკიმ (1922). საქართველოში ტოპოლოგიურ კვლევას საფუძველი ჩაუყარა გიორგი ჭოღოშვილმა. ქართულ ტოპოლოგიურ სკოლას მრავალი შესანიშნავი მათემატიკოსი ამშვენებს, მათ შორის გამორჩეულნი არიან ნოდარ ბერიკაშვილი, თორნიკე ქადეიშვილი, ალიკო ჩიგოგიძე და სხვები.

ტოპოლოგიის მიმართულებები[რედაქტირება]

პოლიჰედრა (კუბო- ჰემიოკტაჰედრონი)

ტოპოლოგია მოიცავს ერთმანეთისგან საკმაოდ დაშორებულ რამდენიმე ქვედარგს.

კვანძების თეორია. ტოპოლოგიის ქვედარგი

ტოპოლოგიის სხვა მიმართულებებია, მაგალითად, კვანძების თეორია, (კო)ბორდიზმების თეორია, ტოპოლოგიური K-თეორია და სხვ.

ზოგადი ტოპოლოგიის ზოგიერთი თეორემა[რედაქტირება]

  • ტიცეს გაფართოების თეორემა: ნორმალური სივრცის ნებისმიერ ჩაკეტილ ქვესიმრავლეზე განმარტებული ნამდვილი უწყვეტი ფუნქცია შეიძლება გავრცელდეს მთელ სივრცეზე.
  • ბერის კატეგორიის თეორემა: თუ X სრული მეტრიკული სივრცეა ან ლოკალურად კომპაქტური ჰაუსდორფის სივრცე, მაშინ მისი არსადმკვრივი ქვესიმრავლეების ნებისმიერი თვლადი გაერთიანების ბირთვი ცარიელია.

უფრო ზოგადი თეორიები[რედაქტირება]

შედეგების ანალიზს და შემდგომ მათემატიკურ აბსტრაგირებას მივყავართ უფრო ზოგადი სტრუქტურების კვლევისკენ. უწერტილო ტოპოლოგია სწავლობს ტოპოლოგიურ სივრცეებთან დაკავშირებულ თვისებებს კიდევ უფრო ზოგად სიტუაციებში. თავდაპირველად ტოპოლოგიაში გაჩენილმა იდეებმა აგრეთვე განვითარება ჰპოვა კატეგორიათა თეორიის სხვადასხვა კონტექსტში.

ლიტერატურა[რედაქტირება]

  • James Munkres (1999). Topology, 2nd edition, Prentice Hall.
  • John L. Kelley (1975). General Topology. Springer-Verlag.
  • Allen Hatcher, Algebraic Topology , Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
  • В.Г.Болтянский, В.А.Ефремович, Наглядная топология выпуск 21 серии «Библиотечка квант» М., Наука, 1982.

იხილეთ აგრეთვე[რედაქტირება]