პლატონური სხეულები

პლატონური სხეული — სამგანზომილებიანი, წესიერი, ამოზნექილი მრავალწახნაგა. ის შედგება წესიერი მრავალკუთხედებისაგან. პლატონური სხეულის თითოეულ წვეროში ერთმანეთს ხვდება ერთი და იგივე რაოდენობის წახნაგები. პლატონური სხეულის ამ კრიტერიუმებს აკმაყოფილებს ხუთი სხეული, რომლებსაც სახელი ეწოდათ წახნაგთა რაოდენობის მიხედვით.

ტეტრაედრი (სამკუთხა პირამიდა)	კუბი (ჰექსაედრი)	ოქტაედრი	დოდეკაედრი	იკოსაედრი
ოთხი წახნაგი	ექვსი წახნაგი	რვა წახნაგი	თორმეტი წახნაგი	ოცი წახნაგი

გეომეტრიის შემსწავლელები იკვლევდნენ პლატონური სხეულების მათემატიკურ სილამაზესა და სიმეტრიას წლების განმავლობაში. მათი სახელი მომდინარეობს ძველბერძენი ფილოსოფოსის პლატონისაგან, რომელმაც ჩამოაყალიბა თეორია თავის ცნობილ დიალოგში (Timaeus), რომ კლასიკური ელემენტები (მიწა, წყალი, ცეცხლი, ჰაერი და ეთერი) შედგებოდა ამ ხუთი ფორმისაგან.

ისტორია

კეპლერის მზის სისტემის მოდელი პლატონური სხეულების მაგალითზე წიგნიდან Mysterium Cosmographicum (1596)

პლატონური სხეული ცნობილია ანტიკური დროიდან. მოჩუქურთმებული ქვის ბურთები, რომელიც შექმნილია გვიანი ნეოლითის ადამიანისაგან შოტლანდიაში, მიმსგავსებულია პლატონურ სხეულებთან. თუმცა პლატონურ სხეულს, როგორც სჩანს, არ ჰქონდა უპირატესობა ნაკლებ სიმეტრიულ ფიგურებთან შედარებით და ზოგიერთი მათგანი გამორჩენილიცაა.

ძველი ბერძნები ინტენსიურად სწავლობდნენ პლატონურ სხეულებს. ზოგიერთი წყაროები (როგორიცაა პროკლე) მათ აღმოჩენას პითაგორას მიაწერს. სხვა მტკიცებულებით, პითაგორა იცნობდა მხოლოდ ტეტრაედრს, კუბსა და დოდეკაედრს, ხოლო ოქტაედრი და იკოსაედრი ტეატეტუსმა აღმოაჩინა, რომელიც პლატონის თანამედროვე იყო. ნებისმიერ შემთხვევაში, სწორედ ტეატეტუსმა აღწერა ხუთივე ეს სხეული და ასევე დაამტკიცა, რომ არ არსებობს მეტი მათი მსგავსი თვისებების ფიგურა.

კოორდინატები კოორდინატთა სისტემაში

კოორდინატთა სათავეში მდებარე პლატონური სხეულების კოორდინატები მოცემულია ქვემომდებარე ცხრილში. ბერძნული ასო φ გამოსახავს ოქროს კვეთას (1 + √5)/2

ფიგურა	ტეტრაედრი		ოქტაედრი	კუბი	იკოსაედრი		დოდეკაედრი
წვეროები	4		6 (2 × 3)	8	12 (4 × 3)		20 (8 + 4 × 3)
ორიენტაცია	1	2	1	2	1	2
კოორდინატები	(1, 1, 1) (1, −1, −1) (−1, 1, −1) (−1, −1, 1)	(−1, −1, −1) (−1, 1, 1) (1, −1, 1) (1, 1, −1)	(±1, 0, 0) (0, ±1, 0) (0, 0, ±1)	(±1, ±1, ±1)	(0, ±1, ±φ) (±1, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1)	(0, ±φ, ±1) (±φ, ±1, 0) (±1, 0, ±φ)	(±1, ±1, ±1) (0, ±1/φ, ±φ) (±1/φ, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1/φ)	(±1, ±1, ±1) (0, ±φ, ±1/φ) (±φ, ±1/φ, 0) (±1/φ, 0, ±φ)
სურათი

კომბინატორული თვისებები

ამოზნექილი მრავალწახნაგა არის პლატონური სხეული მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ:

1. ყველა მისი წახნაგი, არის მსგავსი, ამოზნექილი, წესიერი მრავალკუთხედი.
2. არცერთი მისი წახნაგი მეორეს არ ეხება სხვა ადგილას, წიბოში შეხების გარდა.
3. ყოველ წვეროში ერთი და იგივე რაოდენობის წახნაგი იყრის თავს.

თითოეული პლატონური სხეული შეიძლება აღინიშნოს შემდეგნაირად {p, q}, სადაც

p = ერთ-ერთი წახნაგის გვერდების რაოდენობა, ან ერთი წახნაგის გარშემო არსებული წიბოების რაოდენობა.

q = თითოეულ წვეროში თავმოყრილი წახნაგების რაოდენობა (ან ერთ წვეროში შემავალი წიბოების რაოდენობა)

სიმბოლო {p, q}, ე. წ. შლეფლის (Schläfli) სიმბოლო, იძლევა მრავალწახნაგას კომბინატორულ აღწერას. ხუთი პლატონური სხეულის შლეფლის სიმბოლოები მოცემულია ქვემოთ მოყვანილ ცხრილში.

Polyhedron		წვეროები	წიბოები	წახნაგები	შლეფლის სიმბოლო	წვეროების კონფიგურაცია
ტეტრაედრი		4	6	4	{3, 3}	3.3.3
ჰექსაედრი (კუბი)		8	12	6	{4, 3}	4.4.4
ოქტაედრი		6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
დოდეკაედრი		20	30	12	{5, 3}	5.5.5
იკოსაედრი		12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

პლატონური სხეულების ყველა სხვა ინფორმაცია, როგორიცაა წვეროების (V), წიბოებისა (E) და წახნაგების (F) საერთო რაოდენობა, შეიძლება განისაზღვროს საწყისი p და q-ს მეშვეობით. ვინაიდან, ნებისმიერი წიბო აერთებს ორ წვეროს და აქვს ორი მიმდებარე წახნაგი, ჩვენ გვაქვს ფორმულა:

pF = 2E = qV

სხვა მიმართება, ამ მნიშვნელობებს შორის ცნობილია ეილერის ფორმულის სახელით:

V - E + F = 2

მეორეს მხრივ კი წვეროების (V), წიბოებისა (E) და წახნაგების (F) რაოდენობა შემდეგი ფორმულებით გამოისახება.