პლატონური სხეულები

მასალა ვიკიპედიიდან — თავისუფალი ენციკლოპედია
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება

პლატონური სხეულისამგანზომილებიანი, წესიერი, ამოზნექილი მრავალწახნაგა. ის შედგება წესიერი მრავალკუთხედებისაგან. პლატონური სხეულის თითოეულ წვეროში ერთმანეთს ხვდება ერთი და იგივე რაოდენობის წახნაგები. პლატონური სხეულის ამ კრიტერიუმებს აკმაყოფილებს ხუთი სხეული, რომლებსაც სახელი ეწოდათ წახნაგთა რაოდენობის მიხედვით.

ტეტრაედრი

(სამკუთხა პირამიდა)

კუბი

(ჰექსაედრი)

ოქტაედრი დოდეკაედრი იკოსაედრი
ოთხი წახნაგი
ექვსი წახნაგი
რვა წახნაგი
თორმეტი წახნაგი
ოცი წახნაგი
Tetrahedron.svg


Hexahedron.svg


Octahedron.svg


Dodecahedron.svg


Icosahedron.svg


გეომეტრიის შემსწავლელები იკვლევდნენ პლატონური სხეულების მათემატიკურ სილამაზესა და სიმეტრიას წლების განმავლობაში. მათი სახელი მომდინარეობს ძველბერძენი ფილოსოფოსის პლატონისაგან, რომელმაც ჩამოაყალიბა თეორია თავის ცნობილ დიალოგში (Timaeus), რომ კლასიკური ელემენტები (მიწა, წყალი, ცეცხლი, ჰაერი და ეთერი) შედგებოდა ამ ხუთი ფორმისაგან.[1]

ისტორია[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

კეპლერის მზის სისტემის მოდელი პლატონური სხეულების მაგალითზე წიგნიდან Mysterium Cosmographicum (1596)

პლატონური სხეული ცნობილია ანტიკური დროიდან. მოჩუქურთმებული ქვის ბურთები, რომელიც შექმნილია გვიანი ნეოლითის ადამიანისაგან შოტლანდიაში, მიმსგავსებულია პლატონურ სხეულებთან. თუმცა პლატონურ სხეულს, როგორც სჩანს, არ ჰქონდა უპირატესობა ნაკლებ სიმეტრიულ ფიგურებთან შედარებით და ზოგიერთი მათგანი გამორჩენილიცაა.[2][3]

ძველი ბერძნები ინტენსიურად სწავლობდნენ პლატონურ სხეულებს. ზოგიერთი წყაროები (როგორიცაა პროკლე) მათ აღმოჩენას პითაგორას მიაწერს. სხვა მტკიცებულებით, პითაგორა იცნობდა მხოლოდ ტეტრაედრს, კუბსა და დოდეკაედრს, ხოლო ოქტაედრი და იკოსაედრი ტეატეტუსმა აღმოაჩინა, რომელიც პლატონის თანამედროვე იყო. ნებისმიერ შემთხვევაში, სწორედ ტეატეტუსმა აღწერა ხუთივე ეს სხეული და ასევე დაამტკიცა, რომ არ არსებობს მეტი მათი მსგავსი თვისებების ფიგურა.

კოორდინატები კოორდინატთა სისტემაში[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

კოორდინატთა სათავეში მდებარე პლატონური სხეულების კოორდინატები მოცემულია ქვემომდებარე ცხრილში. ბერძნული ასო φ გამოსახავს ოქროს კვეთას (1 + √5)/2


ფიგურა ტეტრაედრი
ოქტაედრი კუბი იკოსაედრი დოდეკაედრი
წვეროები 4 6 (2 × 3) 8 12 (4 × 3) 20 (8 + 4 × 3)
ორიენტაცია 1 2 1 2 1 2
კოორდინატები (1, 1, 1)

(1, −1, −1)
(−1, 1, −1)
(−1, −1, 1)

(−1, −1, −1)

(−1, 1, 1)
(1, −1, 1)
(1, 1, −1)

 

(±1, 0, 0)
(0, ±1, 0)
(0, 0, ±1)

(±1, ±1, ±1)  

(0, ±1, ±φ)
(±1, ±φ, 0)
φ, 0, ±1)

 

(0, ±φ, ±1)
φ, ±1, 0)
(±1, 0, ±φ)

(±1, ±1, ±1)

(0, ±1/φ, ±φ)
(±1/φ, ±φ, 0)
φ, 0, ±1/φ)

(±1, ±1, ±1)

(0, ±φ, ±1/φ)
φ, ±1/φ, 0)
(±1/φ, 0, ±φ)

სურათი CubeAndStel.svg Dual Cube-Octahedron.svg Icosahedron-golden-rectangles.svg Cube in dodecahedron.png

კომბინატორული თვისებები[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

ამოზნექილი მრავალწახნაგა არის პლატონური სხეული მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ:

  1. ყველა მისი წახნაგი, არის მსგავსი, ამოზნექილი, წესიერი მრავალკუთხედი.
  2. არცერთი მისი წახნაგი მეორეს არ ეხება სხვა ადგილას, წიბოში შეხების გარდა.
  3. ყოველ წვეროში ერთი და იგივე რაოდენობის წახნაგი იყრის თავს.

თითოეული პლატონური სხეული შეიძლება აღინიშნოს შემდეგნაირად {p, q}, სადაც

p = ერთ-ერთი წახნაგის გვერდების რაოდენობა, ან ერთი წახნაგის გარშემო არსებული წიბოების რაოდენობა.
q = თითოეულ წვეროში თავმოყრილი წახნაგების რაოდენობა (ან ერთ წვეროში შემავალი წიბოების რაოდენობა)

სიმბოლო {p, q}, ე. წ. შლეფლის (Schläfli) სიმბოლო, იძლევა მრავალწახნაგას კომბინატორულ აღწერას. ხუთი პლატონური სხეულის შლეფლის სიმბოლოები მოცემულია ქვემოთ მოყვანილ ცხრილში.

Polyhedron წვეროები
წიბოები
წახნაგები
შლეფლის სიმბოლო
წვეროების კონფიგურაცია
ტეტრაედრი
Tetrahedron.svg 4 6 4 {3, 3} 3.3.3
ჰექსაედრი

(კუბი)

Hexahedron.svg 8 12 6 {4, 3} 4.4.4
ოქტაედრი
Octahedron.svg 6 12 8 {3, 4} 3.3.3.3
დოდეკაედრი
Dodecahedron.svg 20 30 12 {5, 3} 5.5.5
იკოსაედრი
Icosahedron.svg 12 30 20 {3, 5} 3.3.3.3.3

პლატონური სხეულების ყველა სხვა ინფორმაცია, როგორიცაა წვეროების (V), წიბოებისა (E) და წახნაგების (F) საერთო რაოდენობა, შეიძლება განისაზღვროს საწყისი p და q-ს მეშვეობით. ვინაიდან, ნებისმიერი წიბო აერთებს ორ წვეროს და აქვს ორი მიმდებარე წახნაგი, ჩვენ გვაქვს ფორმულა:

pF = 2E = qV

სხვა მიმართება, ამ მნიშვნელობებს შორის ცნობილია ეილერის ფორმულის სახელით:

V - E + F = 2

მეორეს მხრივ კი წვეროების (V), წიბოებისა (E) და წახნაგების (F) რაოდენობა შემდეგი ფორმულებით გამოისახება.

ფორმულები .png

სქოლიო[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

  1. Zeyl, Donald. „Plato's Timaeus“. Plato's Timaeus. http://plato.stanford.edu/entries/plato-timaeus/.
  2. Hart, George. Neolithic Carved Stone Polyhedra.
  3. Lloyd, D. R. (2012). "How old are the Platonic Solids?". BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics 27 (3): 131–140.