პუანკარე-ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება

მათემატიკაში პუანკარე- ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა იძლევა ლის ალგებრის უნივერსალური მომვლები ალგებრის აღწერას.

ვთქვათ \mathfrak{g} ლის ალგებრაა F ველზე. მოდი U(\mathfrak{g}) იყოს \mathfrak{g}-ს უნივერსალური მომვლები ალგებრა. რადგან ეს უკანასკნელი არის ტენზორული ალგებრის ფაქტორ-ალგებრა, ამიტომ  U(\mathfrak{g})-ს გააჩნია გაფილტრული ალგებრის სტრუქტურა, სადაც U_k(\mathfrak{g}) არის U(\mathfrak{g})-ს ქვესივრცე მოჭიმული \mathfrak{g}-ს არაუმეტრეს k-ელემენტთა ნამრავლების მიერ. შესაბამისი დაგრადული ალგებრა

 gr(U)(\mathfrak{g})=U_0\oplus
U_1/U_0\oplus\cdots \oplus U_k/U_{k-1}\oplus
\cdots

არის კომუტატური, ამასთან : U_0=F და :U_1(\mathfrak{g})/U_0(\mathfrak{g})=\mathfrak{g} რის გამოც ჩნდება კომუტატურ ალგებრათა ერთადერთი ჰომომორფიზმი

\pi:S^*(\mathfrak{g})\to gr(U)(\mathfrak{g})

რომელიც იგივურია \mathfrak{g} ქვესივრცეზე. აქ S^*(V) აღნიშნავს V ვექტორული სივრცით წარმოქნილ სიმეტრიულ ალგებრას. პუანკარე- ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა ამბობს, რომ \pi არის იზომორფიზმი.

ლიტერატურა[რედაქტირება]

  • N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 1-2. Springer; 2006.

ISBN-10: 3540353356.