უნივერსალური მომვლები ალგებრა

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება

მათემატიკაში უნივერსალური მომვლები ალგებრა არის კონსტრუქცია რომელიც მოცემულ ლის ალგებრა \,\mathfrak{g}-ს უსაბამებს \,U(\mathfrak{g}) ასოციურ ალგებრას.

ყოველი ასოციური ალგებრა A შეიძლება განხილულ იყოს როგორც ლის ალგებრა თუკი ლის ფრჩხილს განვმარტავთ ტოლობით

 [a,b]=ab-ba.\

ეს ლის ალგებრა აღინიშნება AL სიმბოლოთი. ამ გზით მიიღება ფუნქტორი ასოციური ალგებრების კატეგორიიდან ლის ალგებრების კატეგორიაში. ამ ფუნქტორს აქვს მარცხნიდან შეუღლებული ფუნქტორი, რომლის მნიშვნელობას \mathfrak{g}-ლის ალგებრაზე ჰქვია \,\mathfrak{g}-ს უნივერსალური მომვლები ალგებრა და აღინიშნება \ U(\mathfrak{g}) სიმბოლოთი. ამრიგად, ყოველი ლის \,\mathfrak{g} ალგებრისათვის მოცემულია ლის ალგებრების ჰომომორფიზმი h:\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})L ისე რომ, თუ f:\mathfrak{g}\to AL არის ლის ალგებრების ჰომომორფიზმი, მაშინ არსებობს ასოციური ალგებრების ერთადერთი ჰომომორფიზმი g:U(\mathfrak{g})\to A ისე რომ f=gh.

ალგებრა \ U(\mathfrak{g}) ასე შეიძლება განიმარტოს:

U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/I

აქ T(\mathfrak{g}) აღნიშნავს \,\mathfrak{g} ვექტორული სივრცით წარმოქმნილ ტენზორულ ალგებრას, ხოლო I იდეალია რომელიც წარმოქმნილია

 a\otimes b - b \otimes a - [a,b], \quad a,b \in \mathfrak{g}.

ელემენტებით. პუანკარე-ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა იძლევა \ U(\mathfrak{g}) ალგებრის სტრუქტურულ აღწერას. შევნიშნოთ, რომ

\ U(\mathfrak{g}\times \mathfrak{h})\cong U(\mathfrak{g})\otimes U(\mathfrak{h})

რის გამოც, დიაგონალური ასახვა \,\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}\times \mathfrak{g} იწვევს კოგამრავლებას

\ U(\mathfrak{g})\to U(\mathfrak{g})\otimes U(\mathfrak{g})

ამ კოგამრავლებით \,U(\mathfrak{g}) ხდება კოკომუტატური ჰოპფის ალგებრა.

ლიტერატურა[რედაქტირება]

  • N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 1. Springer; 2006. ISBN-10: 3540353356.