აპოლონის ბადე

აპოლონის საცერის ნიმუში

აპოლონის ბადე (ასევე აპოლონის საცერი) — მათემატიკაში არის ფრაქტალი გენერირებული სამი წრეწირისგან, რომელთაგან ნებისმიერი წრეწირი დანარჩენი ორის მხებია. მას სახელი ბერძენი მათემატიკოსი აპოლონ პერგელის პატივსაცემად ეწოდა.

აპოლონის საცერს შემდეგნაირად აწყობენ:

• ვიწყებთ სამი წრეწირისგან C1, C2 და C3, რომელთაგან ყოველი დანარჩენი ორის მხებია (ზოგადად ეს სამი წრეწირი ნებისმიერი ფორმის შეიძლება იყოს იმ პირობით, რომ მათ საერთო მხები წერტილი აქვთ). აპოლონმა აღმოაჩინა, რომ არსებობს კიდევ ორი წრეწირი, რომლებიც ერთმანეთს არ კვეთს, C4 და C5, რომლებიც ეხება ყველა პირველ სამ წრეწირს — მათ აპოლონის წრეწირებს უწოდებენ (იხ. დეკარტის თეორემა). აპოლონის ორი წრეწირის დამატებით საწყის სამთან, მიღებთ ხუთ წრეწირს.
• ვიღებთ ერთ-ერთ აპოლონის წრეწირს, ვთქვათ C4-ს. ის მხებია C1 და C2-ის, შესაბამისად, წრეწირთა სამეულს C4, C1 და C2 აქვს საკუთარი ორი აპოლონის წრეწირი. ერთ-ერთი მათგანია C3, მეორე კი ახალი წრეწირია — C6.
• მსგავსად შეგვიძლია ავაგოთ შემდეგ ახალი წრეწირი C7, რომელი მხებია C4, C2 და C3-ის, და კიდევ ერთი წრეწირი C8 სამეულისგან C4, C3 და C1. ეს გვაძლევს 3 ახალ წრეწირს. ასევე შეგვლიძლია ავაგოთ სამი ახალი წრეწირი C5-ისგან, რაც ექვს ახალ წრეწირს გვაძლევს საერთო ჯამში. ხოლო წრეწერებთან C1 და C5 ეს ერთობლიობაში გვაძლევს 11 წრეწირს.

შენებისს ამგვარად ეტაპობრივად გაგრძელებით ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ 2·3ⁿ ახალი წრეწირები n ეტაპზე, რაც მოგვცემს 3ⁿ⁺¹ + 2 წრეწირს n საფეხურის შემდეგ. წრეწირთა ეს ერთობლიობა გვაძლევს აპოლონის საცერს.

ლიტერატურა

• А. А. Кириллов. Часть II. Ковер Аполлония // Повесть о двух фракталах. — 2-е изд., исправленное. — М.: Издательство МЦНМО, 2010. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 978-5-94057-670-9.

რესურსები ინტერნეტში

• აპოლონის ბადე — Mathworld