უნივერსალური მომვლები ალგებრა

მათემატიკაში უნივერსალური მომვლები ალგებრა არის კონსტრუქცია რომელიც მოცემულ ლის ალგებრა $\,{\mathfrak {g}}$-ს უსაბამებს $\,U({\mathfrak {g}})$ ასოციურ ალგებრას.

ყოველი ასოციური ალგებრა A შეიძლება განხილულ იყოს როგორც ლის ალგებრა თუკი ლის ფრჩხილს განვმარტავთ ტოლობით

$[a,b]=ab-ba.\$

ეს ლის ალგებრა აღინიშნება A_L სიმბოლოთი. ამ გზით მიიღება ფუნქტორი ასოციური ალგებრების კატეგორიიდან ლის ალგებრების კატეგორიაში. ამ ფუნქტორს აქვს მარცხნიდან შეუღლებული ფუნქტორი, რომლის მნიშვნელობას ${\mathfrak {g}}$-ლის ალგებრაზე ჰქვია $\,{\mathfrak {g}}$-ს უნივერსალური მომვლები ალგებრა და აღინიშნება $\ U({\mathfrak {g}})$ სიმბოლოთი. ამრიგად, ყოველი ლის $\,{\mathfrak {g}}$ ალგებრისათვის მოცემულია ლის ალგებრების ჰომომორფიზმი $h:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$_L ისე რომ, თუ $f:{\mathfrak {g}}\to A$_L არის ლის ალგებრების ჰომომორფიზმი, მაშინ არსებობს ასოციური ალგებრების ერთადერთი ჰომომორფიზმი $g:U({\mathfrak {g}})\to A$ ისე რომ $f=gh$.

ალგებრა $\ U({\mathfrak {g}})$ ასე შეიძლება განიმარტოს:

$U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I$

აქ $T({\mathfrak {g}})$ აღნიშნავს $\,{\mathfrak {g}}$ ვექტორული სივრცით წარმოქმნილ ტენზორულ ალგებრას, ხოლო I იდეალია რომელიც წარმოქმნილია

$a\otimes b-b\otimes a-[a,b],\quad a,b\in {\mathfrak {g}}.$

ელემენტებით. პუანკარე-ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა იძლევა $\ U({\mathfrak {g}})$ ალგებრის სტრუქტურულ აღწერას. შევნიშნოთ, რომ

$\ U({\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {h}})\cong U({\mathfrak {g}})\otimes U({\mathfrak {h}})$

რის გამოც, დიაგონალური ასახვა $\,{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}$ იწვევს კოგამრავლებას

$\ U({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})\otimes U({\mathfrak {g}})$

ამ კოგამრავლებით $\,U({\mathfrak {g}})$ ხდება კოკომუტატური ჰოპფის ალგებრა.

ლიტერატურა

• N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 1. Springer; 2006. ISBN-10: 3540353356.