რიცხვთა თეორია

რიცხვთა თეორია — მათემატიკის დარგი, რომელიც სწავლობს რიცხვთა თვისებებს. რიცხვთა თეორიას ზოგჯერ არითმეტიკასაც უწოდებენ, მაგრამ, ჩვეულებრივ, არითმეტიკის ქვეშ გულისხმობენ სწავლებას მთელ და წილად რიცხვებზე იმ დროს, როდესაც რიცხვთა თეორიაში შეისწავლება მთელ რიცხვთა კანონზომიერებანი. რიცხვთა თეორიაში ბუნებრივადაა ჩართული ალგებრულ რიცხვთა თეორიაც. კანონზომიერებით მდიდარია რიცხვთა თეორიის ის ნაწილი, რომელიც სწავლობს განუსაზღვრელი განტოლებების, ე. წ. დიოფანტური განტოლებების მთელი რიცხვების სიმრავლეში ამოხსნადობის საკითხს.

საბერძნეთში პითაგორას სკოლაში, ძვ. წ. VI საუკუნეში სწავლობდნენ მთელ რიცხვთა გაყოფადობის საკითხს, გამოყოფდნენ მთელ რიცხვთა ქვეკლასებს (მაგალითად, მარტივ რიცხვებს, შედგენილ რიცხვებს, კვადრატულ რიცხვებს), სწავლობდნენ აგრეთვე სრულყოფილი რიცხვების სტრუქტურას და ამოხსნას $x^{1}\pm y^{2}=z^{2}$ განტოლებებისა მთელ რიცხვებში. მარტივ რიცხვთა განაწილების შესწავლის შედეგად შეიქმნა ამ რიცხვთა ცხრილის შედგენის ხერხი – ერატოსთენეს საცერი. ევკლიდემ თავის „საწყისებში“ ევკლიდეს ალგორითმის საფუძველზე მოგვცა გაყოფადობის თეორია. ამავე წიგნში მოცემულია დამტკიცება იმისა, რომ მარტივ რიცხვთა სიმრავლე უსასრულოა. დიდი მნიშვნელობა ჰქონდა რიცხვთა თეორიის განვითარებისათვის დიოფანტეს შრომებს, თავის თხზულებაში „არითმეტიკა“ მან ჩამოაყალიბა ერთზე მეტი უცნობიანი პირვილი და მეორე ხარისხისს ალგებრული განტოლებების მთელ და რაციონალურ რიცხვებში ამოხსნის მეთოდები. რიცხვთა თეორიის ზოგიერთი ამოცანა შეისწავლებოდა ჩინეთსა (II საუკუნე) და ინდოეთში (VII საუკუნე). რიცხვთა თეორიის სწრაფი განვითარება დაიწყო XVII საუკუნეში ევროპაში – პ. ფერმამ შეისწავლა სხვადასხვა ტიპის განტოლებების მთელ რიცხვებში ამოხსნადობის საკითხი. კერძოდ, მან ჩამოაყალიბა ჰიპოთეზა

$x^{n}+y^{n}\equiv z^{n},n>3$

მთელ დადებით რიცხვებში არაამოხსნადობის შესახებ. ლ. ეილერმა გამოიყენა მათემატიკური ანალიზი რიცხვთა თეორიის საკითხების შესწავლისას და საფუძველი ჩაუყარა ე. წ. რიცხვთა ანალიზურ თეორიას. რიცხვთა თეორიის განვითარებაზე დიდი გავლენა მოახდინა ჟ. ლაგრანჟისა და ა. ლეჟანდრის შრომებმა. ჟ. ლაგრანჟმა დაამტკიცა თეორემა რიცხვთა ოთხი კვადრატის ჯამის წარმოდგენის შესახებ, მნიშვნელოვანი გამოკვლევები ჩაატარა ჯაჭვწილადების თეორიაში და სხვა. ა. ლეჟანდრმა განავითარა უმაღლესი ხარისხების განუსაზღვრელი განტოლებების თეორია, მიიღო მოცემულ საზღვრებში მარტივ რიცხვთა ემპირიული ფორმულა და ა. შ. კ. გაუსმა ააგო შედარების თეორია და შექმნა ამ თეორიის ძირითადი მეთოდები. თუ გაუსამდე რიცხვთა თეორია წარმოადგენდა ცალკეული შედეგებისა და იდეების კრებულს, გაუსის შრომების შედეგად იგი განვითარდა სხვადასხვა მიმართულებით.

რიცხვთა თეორიის შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია პ. დირიხლეს, ლ. კრონეკერის, ჟ. ლიუვილის, ბ. რიმანის, შ. ერმიტის, რ. დედეკინდის, ჰ. ვაილის, დ. ჰილბერტის და სხვა სახელებთან.

რიცხვთა თეორიის განვითარებაში მნიშვნელოვანი შედეგები ჰქონდათ რუს და საბჭოთა მეცნიერებს (პ. ჩებიშევს, ა. მარკოვს, ი. ვინოგრადოვს, ი. ლინიკს, კ. მარჯანიშვილს და სხვებს).

იხილეთ აგრეთვე

• რიმანის ჰიპოთეზა
• ფერმას დიდი თეორემა
• ელემენტარული რიცხვთა თეორია
• ანალიზური რიცხვთა თეორია
• ალგებრული რიცხვთა თეორია

ლიტერატურა

• ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 8, თბ., 1984. — გვ. 400.