კოსინუსების თეორემა
კოსინუსების თეორემა — ტრიგონომეტრიის ერთ-ერთი თეორემა, რომლის თანახმადაც სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს ამ გვერდისა და მათ შორის მდებარე კუთხის კოსინუსის გაორკეცებული ნამრავლის გამოკლებით.
ისტორია
[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]ბერძენი მათემატიკოსის, გეომეტრიის ფუძემდებლად წოდებული ევკლიდეს, „საწყისებში“, რომელიც ქრ.შ-მდე III საუკუნით თარიღდება, განხილულია კოსინუსების თეორემა ბლაგვკუთხა და მახვილკუთხა სამკუთხედებისთვის. ევკლიდეს დებულება შეიძლება, ნახაზიდან გამომდინარე, ასე გადმოვცეთ:
ეს ფორმულა შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც კოსინუსების თეორემა, რადგან
ევკლიდე ანალოგიურ დებულებას გადმოგვცემს მახვილკუთხა სამკუთხედებისთვისაც.
საინტერესოა ის, რომ ევკლიდეს დროს არ იყო შესწავლილი ალგებრა (კერძოდ, უარყოფითი რიცხვები) და ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ამიტომაც ევკლიდეს დებულებებს გეომეტრიული ელფერი დაჰკრავთ.
დასავლეთს კოსინუსების თეორემა ფრანსუა ვიეტმა გააცნო, რომელიც მან სავარაუდოდ დამოუკიდებლად აღმოაჩინა. თეორემამ დღევანდელი სახე XIX საუკუნის დასაწყისში მიიღო.
დამტკიცება
[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]ამ განყოფილებაში პირველი გრამატიკული პირი გადაჭარბებულად გამოიყენება. |
ვთქვათ, ABC სამკუთხედში B წვეროდან AC გვერდის მიმართ გავლებულია სიმაღლე BD. სიმაღლე შეიძლება მდებარეობდეს როგორც სამკუთხედის შიგნით (შემთხვევა 1), ისე ემთხვეოდეს მის გვერდს (შემთხვევა 2), ან მდებარეობდეს სამკუთხედის გარეთ (შემთხვევა 3):
შემთხვევა 1: D წერტილი A და C წერტილებს შორისაა.
BCD სამკუთხედიდან
ABD სამკუთხედიდან
მაშინ
იმის გათვალისწინებით, რომ
მიიღება:
შემთხვევა 2: BD სიმაღლე ერთ-ერთ გვერდს ემთხვევა (ABC სამკუთხედი მართკუთხაა).
მაშინ, პითაგორას თეორემის თანახმად,
რადგან
ეს ტოლობა ასეც შეიძლება ჩაიწეროს:
შემთხვევა 3: C წერტილი A და D წერტილებს შორისაა.
CBD სამკუთხედიდან:
ABD სამკუთხედიდან
მაშინ
იმის გათვალისწინებით, რომ
მიიღება:
თეორემა დამტკიცებულია ყველა შესაძლო შემთხვევისთვის.
გამოყენება
[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]კოსინუსების თეორემა გამოიყენება სამკუთხედების ამოხსნისას (მისი ყველა ელემენტის პოვნისას).
მაგალითად, როდესაც მოცემულია სამკუთხედის ყველა გვერდი, შეგვიძლია ვიპოვოთ მისი ყველა კუთხე. კოსინუსების თეორემიდან ვიღებთ, რომ
ცხადია, კოსინუსების თეორემას ვიყენებთ მაშინაც, როდესაც ცნობილია სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის მდებარე კუთხე. ამ დროს მესამე გვერდი იქნება:
ტოლფერდა სამკუთხედის შემთხვევა
[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]როცა a=b, ანუ როდესაც სამკუთხედი ტოლფერდაა, სამკუთხედის წვეროს პოვნის ფორმულა მნიშვნელოვანწილად მარტივდება.
როგორც ვიცით
რადგან
მაშინ
იხილეთ აგრეთვე
[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]ლიტერატურა
[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]- ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 5, თბ., 1980. — გვ. 683.