სიგმა-ალგებრა

σ-ალგებრა (იგივე სიგმა-ალგებრა) მათემატიკური ტერმინია და აღნიშნავს სიმრავლეთა კოლექციას, რომელიც გარკვეულ პირობებს აკმაყოფილებს. σ-ალგებრები ძირითადად გამოიყენება ზომის განსამარტად გამომდინარე იქიდან, რომ ზომის განსაზღვრა გარკვეული მოსაზრებებით უფრო მოსახერხებელია სიმრავლეთა ისეთ სტრუქტურაზე, რომელიც წარმოადგენს σ-ალგებრას. σ-ალგებრები საჭიროა მათემატიკურ ანალიზში, როგორც საბაზისო ცნება ლებეგის ინტეგრალისთვის. σ-ალგებრას ასევე იყენებენ ალბათობის თეორიაში ელემენტარული ხდომილობებისგან შედგენილი ხდომილობების სივრცის განსამარტად.

არაცარიელ X სიმრავლეზე მოჭიმული σ-ალგებრა $\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$ განისაზღვრება, როგორც X-ის ქვესიმრავლეთა არაცარიელი კოლექცია, რომელიც ჩაკეტილია თვლადი რაოდენობა თანაკვეთებისა და გაერთიანებების მიმართ. სხვანაირად, ის წარმოადგენს თვლადი ოპერაციების მიმართ გასრულებულ სიმრავლეთა ალგებრას. (X, $\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$) წყვილს ზომადი სივრცე ეწოდება.

მაგალითად, თუ X = {a, b, c, d}, მასზე მოჭიმული σ-ალგებრებიდან ერთ-ერთი ასე წარმოდგება:

$\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$ = { ∅, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d} }

შემოღების მიზეზები

მათემატიკაში, X სიმრავლეზე განსაზღვრული ზომა ეწოდება ფუნქციას, რომელიც X-ის ქვესიმრავლეებს არაუარყოფით ნამდვილ რიცხვებს უსაბამებს. ბუნებრივია სურვილი, X სიმრავლეზე განსაზღვრულმა ზომამ შეძლოს მისი ყველა ქვესიმრავლის გაზომვა, მაგრამ ეს ხშირად შესაძლებელი არაა. ჯუზეპე ვიტალიმ ამორჩევის აქსიომაზე დაყრდობით 1905 წელს ააგო ცნობილი ვიტალის არაზომადი სიმრავლე, რომელიც ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის ქვესიმრავლეს წარმოადგენს და არაზომადია ლებეგის აზრით. ამიტომ გაჩნდა იდეა, ზომა განსაზღვრულიყო სიმრავლეთა გარკვეულ კოლექციებზე ისე, რომ მათში არაზომადი სიმრავლის მიღება გამორიცხული ყოფილიყო და ამავდროულად ასეთ კოლექციებში არსებული ყველა სიმრავლის დამატებები და თვლადი გაერთიანებები ზომადი ყოფილიყო. ეს უკანასკნელი თვისება ნაკარნახევი იყო ინტუიციური მოსაზრებით, რომ ორი ზომადი სიმრავლის გაერთიანება და თანაკვეთა ისევ ზომადი უნდა იყოს. ასეთ არაცარიელ კოლექციებს σ-ალგებრებს უწოდებენ.

განმარტება და თვისებები

დავუშვათ, X სიმრავლეა, ხოლო Y - მის ყველა ქვესიმრავლეთა სიმრავლე. $\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$⊂Y სიმრავლეს ეწოდება σ-ალგებრა X-ზე, თუ:

1. $\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$ არაცარიელია
2. $\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$ ჩაკეტილია დამატების ოპერაციის მიმართ: თუ A∈$\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$, მაშინ X\A∈$\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$
3. $\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$ ჩაკეტილია თვლადი რაოდენობა გაერთიანების მიმართ: თუ A₁, A₂, A₃, ... ∈ $\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$, მაშინ A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ … ∈ $\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$

ამ განმარტებიდან დე მორგანის კანონებით მიიღება, რომ σ-ალგებრა თვლადი რაოდენობა თანაკვეთების მიმართაც ჩაკეტილია.

ასევე ცხადია, რომ ცარიელი სიმრავლე და თვითონ X შედის X–ზე მოჭიმულ ნებისმიერ σ-ალგებრაში. მტკიცება მარტივია: რადგანაც ყოველი σ-ალგებრა არაცარიელია, მასში მოიძებნება რაიმე A სიმრავლე. შესაბამისად, (2) თვისების გამო მასში ასევე შედის X\A. რადგანაც შედის A და X\A, (3) თვისების გამო შედის A∪(X\A)=X. რადგანაც შედის X, შედის მისი დამატებაც, ანუ ცარიელი სიმრავლე.

ზუსტად ესაა განსხვავება σ–ალგებრასა და σ–რგოლს შორის: σ–ალგებრა წარმოადგენს σ–რგოლს, რომელიც X–ს შეიცავს. σ–რგოლი კი არაა აუცილებელი, რომ σ–ალგებრა იყოს. მაგალითად, ნული ზომის სიმრავლეები ნამდვილ რიცხვთა ღერძზე ქმნიან σ–რგოლს, მაგრამ არ შეიცავენ თვითონ ღერძს (რადგანაც მისი ზომა უსასრულოა და ნული ზომის მქონე სიმრავლეების თვლადი გაერთიანებით ვერ მიიღება). თუ ნული ზომის სიმრავლეების მაგივრად ავიღებთ სასრული ზომის მქონე სიმრავლეებს, მაშინ ისინი შეადგენენ რგოლს, მაგრამ არა σ–რგოლს, რადგანაც ასეთი სიმრავლეების თვლადი გაერთიანებით მიღებული ნამდვილ რიცხვთა ღერძი უსასრულო ზომისაა.

σ–ალგებრის ელემენტებს ზომადი სიმრავლეები ჰქვიათ. დალაგებულ წყვილს (X, $\scriptstyle \,{\mathcal {F}}$) ზომადი სივრცე ეწოდება. ორი ზომადი სივრცის დამაკავშირებელ ფუნქციას ეწოდება ზომადი ფუნქცია, თუ ყოველი ზომადი სიმრავლის წინარე სახე ამ ფუნქციით ისევ ზომადია. ზომად სივრცეთა კოლექცია შეადგენს კატეგორიას, ხოლო ზომადი ფუნქციები – მორფიზმებს. ზომა განისაზღვრება, როგორც გარკვეული თვისებების მქონე ფუნქცია ზომად სივრცეზე მნიშვნელობებით არაუარყოფით ნამდვილ რიცხვებში.

σ–ალგებრების აღნიშვნისას ქართულ მათემატიკურ წრეებში მიღებულია მაღალი რეგისტრის კალიგრაფიული ინგლისური ასოების გამოყენება, მაგალითად, $\scriptstyle (X,\,{\mathcal {F}})$ ან $\scriptstyle (X,\,{\mathfrak {F}})$. დასავლურ ლიტერატურაში უფრო ხშირად მიღებულია σ–ალგებრის მაღალი რეგისტრის სიგმათი (Σ) აღნიშნვნა.

მაგალითები

დავუშვათ, X არაცარიელი სიმრავლეა. მაშინ ყველა ქვემოთ მოყვანილი კოლექცია წარმოადგენს σ-ალგებრას X-ზე:

• კოლექცია, რომელიც შედგება მხოლოდ ცარიელი სიმრავლისა და X-სგან (ეწოდება ტრივიალური σ-ალგებრა).
• X-ის ყველა ქვესიმრავლეთა სიმრავლე (იგივე მაქსიმალური σ-ალგებრა).
• X-ზე მოჭიმულ რაიმე σ-ალგებრათა თანაკვეთა.

რეკომენდებული ლიტერატურა

• ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია, ალბათობის თეორია – თსუ, 2005

იხილეთ აგრეთვე

• ალბათობის თეორია
• მათემატიკური ანალიზი