შემოხაზული ოთხკუთხედი

ეს სტატია წამოყენებულია წაშლის კანდიდატად. დეტალური მიზეზების გაგება და განხილვაში მონაწილეობა შეგიძლიათ განხილვის გვერდზე. განხილვის პარალელურად თქვენ შეგიძლიათ სტატიის გაუმჯობესება, თუმცა გთხოვთ, თავი შეიკავოთ სახელის შეცვლისა და შინაარსის არამოტივირებული წაშლისაგან. განხილვის დასრულებამდე არ ამოიღოთ ეს თარგი სტატიიდან. სასურველია ამის შესახებ აცნობოთ იმ მომხმარებლებსაც, რომელთაც მნიშვნელოვანი წვლილი მიუძღვით სტატიის შექმნაში. გამოიყენეთ: {{subst:წაშლის კანდიდატი/გაფრთხილება|შემოხაზული ოთხკუთხედი|გაუმართავი, არააკადემიური ენით დაწერილი}} ეს სტატია ნომინირებულია წაშლის კანდიდატად 67 დღის წინ და შეიძლება შეესაბამება სწრაფი წაშლის კრიტერიუმებს თარიღის ავტომატურად მისათითებლად, გამოიყენეთ თარგი {{subst:წაშლის კანდიდატი}} თარგის ჩასმის მიზეზი: გაუმართავი, არააკადემიური ენით დაწერილი

გეომეტრიაში, წრეწირზე შემოხაზული ოთხკუთხედი არის ოთხკუთხედი, რომლის ყველა გვერდი არის მხები ერთ წრეზე ,რომელიც მოთავსებულია ოთხკუთხედში. ამ წრეს უწოდებენ ოთხკუთხედის შიგა წრეწირს ან ოთხკუთხედში ჩახაზულ წრეს.

ყველა სამკუთხედს შეიძლება ჰქონდეს ჩახაზული წრეწირი, მაგრამ არა ყველა ოთხკუთხედს. ოთხკუთხედის მაგალითი, რომელიც არ შეიძლება იყოს შემოხაზული, არის არაკვადრატული მართკუთხედი . ქვემოთ მოყვანილი დახასიათებებში ნათქვამია, თუ რა აუცილებელ პირობებს უნდა აკმაყოფილებდეს ოთხკუთხედი, რომ შეიძლდბოდეს მასში ჩახაზული წრეწირის არსებობა.

განსაკუთრებული შემთხვევები

შემოხაზული ოთხკუთხედის მაგალითებია : ფრანი, რომლებიც მოიცავს რომბებს, რომლებიც თავის მხრივ მოიცავს კვადრატებს . ფრანები სწორედ მხები ოთხკუთხედებია, რომლებიც ასევე ორთოდიაგონალურია . . თუ ოთხკუთხედი არის შემოხაზულიც და ციკლურიც, მას უწოდებენ ორცენტრულ ოთხკუთხედს, ხოლო თუ შემოხაზულიცაა და ტრაპეციაცაა, შემოხაზულ ტრაპეციას .

დახასიათებები

შემოხაზულ ოთხკუთხედში ოთხი კუთხის ბისექტრისა ხვდება წრეწირის ცენტრში. ანუ შეგვიძლია დავასკვნათ,რომ ამოზნექილი ოთხკუთხედი, რომელშიც ოთხი კუთხის ბისექტრისა ერთ საერთო წერტილს ხვდება, უნდა იყოს შემოხაზული და საერთო წერტილი აქვთ ჩახაზული წრის ცენტრი.

პიტოს თეორემის მიხედვით, შემოხაზულ ოთხკუთხედში მოპირდაპირე გვერდიების ორი წყვილი ემატება იმავე მთლიან სიგრძეს, ოთხკუთხედის ნახევარპერიმეტრ s-ს :

$a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.$

აქედან შეგვიძლია საპირისპიროც დავასკვნათ, ოთხკუთხედი რომელშიც a + c = b + d უნდა იყოს შემოხაზული ოთხკუთხედი.

თუ ოთხკუთხედში ABCD (რომელიც არ არის ტრაპეცია ) მოპირდაპირე გვერდები იკვეთება E-სა და F-ში, მაშინ ის შემოხაზულია , მხოლოდ მაშინ, თუ რომელიმე -დან.

$\displaystyle BE+BF=DE+DF$

ან

$\displaystyle AE-EC=AF-FC:$

კიდევ ერთი აუცილებელი პირობაა, რომ ოთხკუთხედი ABCD იყოს შემოხაზული, არის ის , რომ ორ სამკუთხედში ABC და ADC ჩახაზული წრეები ერთმანეთთან მხებია .

დიაგონალი BD- ით და ოთხკუთხედი ABCD-ის ოთხი გვერდით ჩამოყალიბებული კუთხეების დახასიათება განპირობებულია იოსიფესკუს მიერ. მან 1954 წელს დაამტკიცა, რომ ამოზნექილ ოთხკუთხედს აქვს წრე, მხოლოდ იმ შემთხვევაში , თუ

$\tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}$

შეხების წერტილები და მხების სიგრძე

ჩახაზული წრე არის მხები თითოეული გვერდისა ერთ შეხების წერტილში . ეს ოთხი წერტილი განსაზღვრავს ახალ ოთხკუთხედს საწყისი ოთხკუთხედის შიგნით: მხები ოთხკუთხედი, რომელიც ციკლურია, რადგან იგი ჩაწერილია საწყისი ოთხკუთხედის წრეში.

შემოხაზული ოთხკუთხედის რვა მხების სიგრძე ( e, f, g, h ფიგურაში მარჯვნივ) არის ხაზის სეგმენტები წვეროდან შეხების წერტილებამდე. თითოეული წვეროდან არის ორი ტოლი მხების სიგრძე.

შემოხაზული ოთხკუთხედის ორი მხები ქორდა ( k და l ფიგურაში) არის ხაზის სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებენ საპირისპირო მხარეებზე შეხების წერტილებს. ეს ასევე არის მხები ოთხკუთხედის დიაგონალები .

ფართობი

არატრიგონომეტრიული ფორმულები

შემოხაზული ოთხკუთხედის K ფართობი მოცემულია

$\displaystyle K=r\cdot s,$

სადაც s არის ნახევარპერიმეტრი და r არის ჩახაზული წრის რადიუსი . კიდევ ერთი ფორმულა არის

$\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}$

რომელიც იძლევა ფართობს დიაგონალების p, q და a, b, c, d შემოხაზული ოთხკუთხედის გვერდების მიხედვით.

ფართობი ასევე შეიძლება გამოისახოს მხოლოდ ოთხი მხების სიგრძით . თუ ეს არის e, f, g, h, მაშინ შემოხაზულ ოთხკუთხედს აქვს ფართობი

$\displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.$

გარდა ამისა, შემოხაზული ოთხკუთხედის ფართობი შეიძლება გამოისახოს გვერდების a, b, c, d და თანმიმდევრული მხების სიგრძეებით e, f, g, h როგორც

$K={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.$

ვინაიდან eg = fh, მაშინ და მხოლოდ მაშინ, თუ შემოხაზული ოთხკუთხედი ასევე ციკლურია და, შესაბამისად, ბიცენტრული, ეს აჩვენებს, რომ მაქსიმალური ფართობი ${\sqrt {abcd}}$ ხდება მაშინ და მხოლოდ მაშინ, თუ შემოხაზული ოთხკუთხედი ბიცენტრულია.

ტრიგონომეტრიული ფორმულები

ფართობის დასათვლელი ტრიგონომეტრიული ფორმულა a, b, c, d გვერდებისა და ორი მოპირდაპირე კუთხის მიხედვით არის

$\displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.$

მოცემული გვერდის სიგრძეებისთვის, ფართობი მაქსიმალურია, როდესაც ოთხკუთხედი ასევე ციკლურია და, შესაბამისად , ბიცენტრული . მაშინ $K={\sqrt {abcd}}$ რადგან მოპირდაპირე კუთხეები მოსაზღვრე კუთხეებია .

ABCD შემოხაზული ოთხკუთხედის ფართობის კიდევ ერთი ფორმულა, რომელსაც სჭირდება ორი მოპირდაპირე კუთხე , არის

$K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin {\frac {A+C}{2}}$

სადაც I არის ცენტრი.

სინამდვილეში, ფართობი შეიძლება გამოისახოს მხოლოდ ორი მიმდებარე გვერდით და ორი მოპირდაპირე კუთხით, როგორც

$K=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.$

csc(α)=1/sin(α)

კიდევ ერთი ფართობის ფორმულა არის

$K={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,$

სადაც θ არის რომელიმე კუთხე დიაგონალებს შორის. ამ ფორმულის გამოყენება არ შეიძლება, როცა შემოხაზული ოთხკუთხედი არის ფრანი, ვინაიდან θ არის 90° და ტანგესის ფუნქცია არ არის განსაზღვრული.

უტოლობები

როგორც ზემოთ აღინიშნა, a, b, c, d სიგრძის გვერდების მქინე შემოხაზული ოთხკუთხედის ფართობი აკმაყოფილებს

$K\leq {\sqrt {abcd}}$

ტოლია მხოლოდ მაშინ, როცა ეს არის ბიცენტრული ოთხკუთხედი .

შემოხაზული ოთხკუთხედის ნახევარპერიმეტრი s აკმაყოფილებს

$s\geq 4r$

სადაც r არის ინრადიუსი. ეს არის ტოლი, მხოლოდ მაშინ, თუ ეს ოთხკუთხედი არის კვადრატი . ეს ნიშნავს, რომ

K = rs ფართობისათვის არის შემდეგი უტოლობა

$K\geq 4r^{2}$

ტოლია, მხოლოდ მაშინ, როდესაც შემოხაზული ოთხკუთხედი არის კვადრატი.

ინრადიუსი

a, b, c, d თანმიმდევრული გვერდებით შემოხაზულ ოთხკუთხედში ინრადიუსი მოცემულია შემდეგი ფორმულებით:

$r={\frac {K}{s}}={\frac {K}{a+c}}={\frac {K}{b+d}}$

სადაც K არის ოთხკუთხედის ფართობი და s არის მისი ნახევარპერიმეტრი. მოცემული გვერდებით შემოხაზული ოთხკუთხედისთვის, ინრადიუსი მაქსიმალურია, როდესაც ოთხკუთხედი ასევე ციკლურია (და შესაბამისად, ბიცენტრული ).

მხებთა სიგრძის მიხედვით ჩახაზულ წრეწირს აქვს რადიუსი

$\displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.$

ინრადიუსი ასევე შეიძლება გამოისახოს მანძილით I ცენტრიდან ABCD შემოხაზული ოთხკუთხედის წვეროებამდე. თუ u = AI, v = BI, x = CI და y = DI, მაშინ

$r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}$

სადაც $\sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)$ .

თუ ABC, BCD, CDA, DAB სამკუთხედების წრეებს აქვთ რადიუსი $r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}$ შესაბამისად, მაშინ ABCD შემოხაზული ოთხკუთხედის რადიუსი მოცემულია ფორმულით -

$r={\frac {G+{\sqrt {G^{2}-4r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}{2(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}$

სადაც $G=r_{1}r_{2}r_{3}+r_{2}r_{3}r_{4}+r_{3}r_{4}r_{1}+r_{4}r_{1}r_{2}$ .

კუთხის ფორმულები

თუ e, f, g და h არის მხებების სიგრძე A, B, C და D წვეროებიდან შესაბამისად იმ წერტილებამდე, სადაც წრე არის მხები ოთხკუთხედის ABCD გვერდებზე, მაშინ ოთხკუთხედის კუთხეები შეიძლება გამოითვალოს

$\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},$

$\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},$

$\sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},$

$\sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.$

კუთხე k და l მხებ ქორდებს შორის მოცემულია -ით.

$\sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.$

დიაგონალები

თუ e, f, g და h არის მხებებთა სიგრძე A, B, C და D- დან, შესაბამისად, იმ წერტილებამდე, სადაც წრე არის მხები ოთხკუთხედის ABCD გვერდებზე, მაშინ დიაგონალების სიგრძე p = AC და q = BD არის

$\displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},$

$\displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.$