ლევი-ჩივიტას სიმბოლო

ლევი-ჩივიტას სიმბოლო არის მათემატიკური სიმბოლო, რომელცი გამოიყენება ტენზორულ აღრიცხვში, რომელსაც ეს სახელი ეწოდა იტალიელი მათემატიკოსისა და ფიზიკოსის ტულიო ლევი-ჩივიტას პატივსაცემად.

განმარტება

ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს მნიშვნელობები მარჯვენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში.

სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო შემდეგნაირად განისაზღვრება:

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ or } (2,3,1), \\ -1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,3,2), (3,2,1) \mbox{ or } (2,1,3), \\ 0 & \mbox{if }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i \end{cases}$

ანუ $\varepsilon_{ijk}$ არის 1 თუ (i, j, k) წარმოადგენენ (1,2,3)-ის ლუწ გადანაცვლებას (ანუ ამ კომბინაციიდან (1,2,3)-ის მისაღებად ციფრების გადანაცვლებების ლუწი რაოდება არის საჭირო), და არის −1 თუ ამისთვის გადანაცვლებების კენტი რაოდენობაა საჭირო.

სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო მოიცემა შემდეგი ფორმულით:

$\varepsilon_{ijk} = \frac{\left( j-i \right)\left( k-i \right)\left( k-j \right)}{2} = \frac{\left( i-j \right)\left( j-k \right)\left( k-i \right)}{2}.$

ანალოგიურ ფორმულას ოთხგანზომილებიანი სივრცისთვის აქვს შემდეგი სახე:

$\varepsilon_{ijkl} = \frac{\left( j-i \right)\left( k-i \right)\left( l-i \right)\left( k-j \right)\left( l-j \right)\left( l-k \right)}{12} .$

ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ვიზუალიზაცია 3×3×3 მატრიცის სახით.

მარცხენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ილუსტრაცია. ცარიელი კუბი აღნიშნავს 0-ს, წითელი +1-ს, ხოლო ლურჯი -1-ს.

წრფივ ალგებრაში 3×3 A მატრიცის დეტერმინანტი მოიცემა შემდეგი ფორმულით:

$\det A = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}$

ხოლო ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი ჩაიწერება შემდეგნაირად

$\mathbf{a \times b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k$

ან უფრო მარტივად:

$\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k.$

კავშირი კრონეკერის სიმბოლოსთან

ლევი-ჩივიტას სიმბოლო დაკავშირებულია კრონეკერის სიმბოლოსთან. სამგანზომილებიან სივრცეში ეს კავშირი შემდეგი ფორმულებით მოიცემა:

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \det \begin{bmatrix} \delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\ \end{bmatrix},$

$= \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right) \,$

$\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$,

და

$\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$

თვისებები

1. ორ განზომილებაში, როდესაც $i,j,m,n$ იღებს მნიშვნელობებს $\{1,2\}$, გვაქვს

$\begin{align}&\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn} = \delta^m_i \delta^n_j - \delta^n_i \delta^m_j \quad &&(1) \\&\varepsilon_{ij} \varepsilon^{in} = \delta^n_j &&(2) \\&\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij} = 2 &&(3)\end{align}$

2. სამ განზომილებაში, როდესაც $i,j,k,m,n$ იღებს მნიშვნელობებს $\{1,2,3\}$, გვაქვს

$\begin{align}&\varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn}=2\delta^i_j &&(4)\\&\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=6 &&(5)\\&\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}=\delta^{m}_j\delta^{n}_k - \delta^{n}_j\delta^{m}_k &&(6)\end{align}$

3. n განზომილებაში, როდესაც $i_1,...,i_n,j_1,...,j_n$ იღებს მნიშვნელობებს $\{1,...,n\},$:

$\begin{align}& \varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta^{j_1}_{[ i_1} \dots \delta^{j_n}_{i_n ]} &&(7)\\& \varepsilon_{i_1 \dots i_k~i_{k+1}\dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k~j_{k+1}\dots j_n}= k!(n-k)!~\delta^{j_{k+1}}_{[ i_{k+1}} \dots \delta^{j_n}_{i_n ]} &&(8)\\& \varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n! &&(9)\end{align}$

მაგალითები

1. $n\times n$ მატრიცის $A=(a_{ij})$ დეტერმინანტი გამოისახება შემდეგი ფორმულით

$\det A = \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1i_1} \cdots a_{ni_n},$

სადაც იგულისხმება, რომ ყველა $i_l$ სიმბოლოთი ხორციელდება აჯამვა.

ექვივალენტურად, ეს განტოლება შეიძლება შემდეგნაირად ჩაიწეროს:

$\det A = \frac{1}{n!} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} \varepsilon_{j_1\cdots j_n} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n},$

სადაც ყველა $i_l$ და $j_l$ ინდექსებით ხორციელდება აჯამვა $1,\ldots, n$ შუალედში.

2. თუ $A=(A^1, A^2, A^3)$ და $B=(B^1, B^2, B^3)$ არიან სამგანზომილებიანი ვექტორები, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლის $i$-ური გეგმილი ტოლია

$(A\times B)^i = \varepsilon^{ijk} A^j B^k.$

იხილეთ აგრეთვე

• ვექტორული ნამრავლი
• კრონეკერის სიმბოლო

სქოლიო

• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.