ტანგენსების თეორემა

ნახ. 1. სამკუთხედის α, β და γ კუთხეები არის a, b და c გვერდების მოპირდაპირე.

ტრიგონომეტრიაში ტანგენსების თეორემა არის მტკიცება სამკუთხედის ორი კუთხის ტანგენსებისა და მოპირდაპირე გვერდების სიგრძეებს შორის თანაფარდობის შესახებ.

ნახაზ 1-ზე მოცემულია სამკუთხედის a, b და c გვერდები და α, β და γ. ტანგენსების თეორემა ამბობს, რომ:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.$

ტანგენსების თეორემა, რომელიც ისე ფართოდ ცნობილი არ არის, როგორც სინუსების თეორემა ან კოსინუსების თეორემა, სინუსების თეორემის ეკვივალენტურია და შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერ შემთხვევაში, როდესაც ცნობილია ორი გვერდი და მათი მიმდებარე კუთხე, ან ორი კუთხე და გვერდი.

დამტკიცება

ტანგენსების თეორემის დასამტკიცებლად შეიძლება დავიწყოთ სინუსების თეორემით:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.$

ვთქვათ, რომ

$d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}$

ამიტომ

$a=d\sin \alpha \quad$ და $\quad b=d\sin \beta .$

აქედან გამომდინარეობს, რომ

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.$

ტრიგონომეტრიული იგივეობის გამოყენებით, ფუნქციის ჯამის გარდაქმნის ფორმულა კონკრეტულად სინუსებისთვის იქნება

$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha \mp \beta ),$

მივიღებთ

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}{\Bigg /}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.$

იგივეობის გამოყენების ალტერნატივად ორი სინუსის ჯამისთვის ან სხვაობისთვის შეიძლება გამოვიყენოთ:

$\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}$