ლევი-ჩივიტას სიმბოლო

ლევი-ჩივიტას სიმბოლო — მათემატიკური სიმბოლო, რომელიც გამოიყენება ტენზორულ აღრიცხვში, რომელსაც ეს სახელი ეწოდა იტალიელი მათემატიკოსისა და ფიზიკოსის ტულიო ლევი-ჩივიტას პატივსაცემად.

განმარტება

ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს მნიშვნელობები მარჯვენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში.

სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო შემდეგნაირად განისაზღვრება:

$\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,2,3),(3,1,2){\mbox{ or }}(2,3,1),\\-1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,3,2),(3,2,1){\mbox{ or }}(2,1,3),\\0&{\mbox{if }}i=j{\mbox{ or }}j=k{\mbox{ or }}k=i\end{cases}}$

ანუ $\varepsilon _{ijk}$ არის 1 თუ (i, j, k) წარმოადგენენ (1,2,3)-ის ლუწ გადანაცვლებას (ანუ ამ კომბინაციიდან (1,2,3)-ის მისაღებად ციფრების გადანაცვლებების ლუწი რაოდება არის საჭირო), და არის −1 თუ ამისთვის გადანაცვლებების კენტი რაოდენობაა საჭირო.

სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო მოიცემა შემდეგი ფორმულით:

$\varepsilon _{ijk}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(k-j\right)}{2}}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}.$

ანალოგიურ ფორმულას ოთხგანზომილებიანი სივრცისთვის აქვს შემდეგი სახე:

$\varepsilon _{ijkl}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(l-i\right)\left(k-j\right)\left(l-j\right)\left(l-k\right)}{12}}.$

ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ვიზუალიზაცია 3×3×3 მატრიცის სახით.

მარცხენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ილუსტრაცია. ცარიელი კუბი აღნიშნავს 0-ს, წითელი +1-ს, ხოლო ლურჯი -1-ს.

წრფივ ალგებრაში 3×3 A მატრიცის დეტერმინანტი მოიცემა შემდეგი ფორმულით:

$\det A=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$

ხოლო ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი ჩაიწერება შემდეგნაირად

$\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}$

ან უფრო მარტივად:

$\mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.$

კავშირი კრონეკერის სიმბოლოსთან

ლევი-ჩივიტას სიმბოლო დაკავშირებულია კრონეკერის სიმბოლოსთან. სამგანზომილებიან სივრცეში ეს კავშირი შემდეგი ფორმულებით მოიცემა:

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\det {\begin{bmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{bmatrix}},$

$=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)\,$

$\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$,

და

$\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}$

თვისებები

1. ორ განზომილებაში, როდესაც $i,j,m,n$ იღებს მნიშვნელობებს $\{1,2\}$, გვაქვს

${\begin{aligned}&\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}=\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{n}-\delta _{i}^{n}\delta _{j}^{m}\quad &&(1)\\&\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{j}^{n}&&(2)\\&\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2&&(3)\end{aligned}}$

2. სამ განზომილებაში, როდესაც $i,j,k,m,n$ იღებს მნიშვნელობებს $\{1,2,3\}$, გვაქვს

${\begin{aligned}&\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2\delta _{j}^{i}&&(4)\\&\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6&&(5)\\&\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{n}-\delta _{j}^{n}\delta _{k}^{m}&&(6)\end{aligned}}$

3. n განზომილებაში, როდესაც $i_{1},...,i_{n},j_{1},...,j_{n}$ იღებს მნიშვნელობებს $\{1,...,n\},$:

${\begin{aligned}&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=n!\delta _{[i_{1}}^{j_{1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}&&(7)\\&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=k!(n-k)!~\delta _{[i_{k+1}}^{j_{k+1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}&&(8)\\&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!&&(9)\end{aligned}}$

მაგალითები

1. $n\times n$ მატრიცის $A=(a_{ij})$ დეტერმინანტი გამოისახება შემდეგი ფორმულით

$\det A=\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1i_{1}}\cdots a_{ni_{n}},$

სადაც იგულისხმება, რომ ყველა $i_{l}$ სიმბოლოთი ხორციელდება აჯამვა.

ექვივალენტურად, ეს განტოლება შეიძლება შემდეგნაირად ჩაიწეროს:

$\det A={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},$

სადაც ყველა $i_{l}$ და $j_{l}$ ინდექსებით ხორციელდება აჯამვა $1,\ldots ,n$ შუალედში.

2. თუ $A=(A^{1},A^{2},A^{3})$ და $B=(B^{1},B^{2},B^{3})$ არიან სამგანზომილებიანი ვექტორები, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლის $i$-ური გეგმილი ტოლია

$(A\times B)^{i}=\varepsilon ^{ijk}A^{j}B^{k}.$

იხილეთ აგრეთვე

• ვექტორული ნამრავლი
• კრონეკერის სიმბოლო

სქოლიო

• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.