დირაკის დელტა ფუნქცია

მასალა ვიკიპედიიდან — თავისუფალი ენციკლოპედია
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება
დირაკის დელტა ფუნქციის სქემატური ილუსტრაცია.
დირაკის დელტა ფუნქცია, როგორც გაუსის განაწილების (როდესაც ) მიმდევრობის ზღვრული შემთხვევა.

დირაკის დელტა ფუნქცია, ან δ ფუნქცია, წარმოადგენს განზოგადებულ ფუნქციას დამოკიდებულს რეალურ ცვლადზე, ისე, რომ ფუნქციის მნიშვნელობა ტოლია ნულის ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის გარდა იმ შემთხვევისა,როდესაც პარამეტრის მნიშვნელობა ნულის ტოლია, ხოლო ამ ფუნქციის ინტეგრალი −∞ დან ∞ -მდე 1-ის ტოლია. ეს ფუნქცია შგანსაზღვრული იქნა ფიზიკოს-თეორეტიკოსის პოლ დირაკის მიერ. დირაკის დელტა ფუნქცია წარმოადგენს კრონეკერის სიმბოლოს უწყვეტ ანალოგს.

განმარტება[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

დირაკის დელტა ფუნქცია შეიძლება წარმოვიდგინოთ როგორც ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობა ნულის ტოლია ყველა წერტილში გარდა ნულისა, სადაც მისი მნიშვნელობა უსასრულოა:

ასევე, განმარტების თანახმად იგი აკმაყოფილებს პირობას.

[1]

ეს განმარტება გარკვეულწილად ევრისტიკულია. დირაკის დელტა ფუნქცია არ წარმოადგენს რეალურ ფუნქციას. მისი მკაცრი გამნარტება შესაძლებელია განაწილების ან ზომის ცნების გამოყენებით.

თვისებები[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

სიმეტრია და მასშტაბური ინვარიანტობა[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

დირაკის დელტა ფუნქცია აკმაყოფილებს შემდეგ მაშტაბურ ინვარიანტობის თვისებას ნებისმიერი არანულოვანი α სკალარისთვის:[2]

.

გარდა ამისა, დირეკის დელტა ფუნქცია არის ლუწი ფუნქცია, ასე რომ

.

სხვანაირად, დირაკის ფუქცია არის ერთგავროვანი ფუნქცია −1-ის ტოლი ერთგვაროვნების ინდექსით.

ალგებრული თვისებები[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

განაწილება, რომელიც მიიღება δ-ფუნქციის x-ზე ნამრავლით ნულის იგივურად ტოლია:

საპირისპიროდ, თუ xf(x) = xg(x), სადაც f და g განაწილებებია, მაშინ

სადაც c დაიმე მუდმივია.

წანაცვლება[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

დროში წანაცვლებული დელტა ფუნქციის ინტეგრალი მოიცემა როგორც:

.

კავშირი კრონეკერის სიმბოლოსთან[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

კრონეკერის სიმბოლო delta არის სიდიდე, რომელიც განისაზღვრება როგორც

i და j ნატურალური მნიშვნელობებისთვის. ეს ფუნქცია აკმაყოფილებს წანაცვლების თვისების მსგავს თვისებას: თუ არის ნებისმიეირ უსასტულო მიმდევრობა, მაშინ

ანალოგიურად, ნებისმიეირი უწყვეტი ფუნქციისთვის განსაზღვრულს რაიმე არეში , დირალის დელტა ფუნცია აკმაყოფილებს წანაცვლების თვისებას

იხილეთ აგრეთვე[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

სქოლიო[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

  1. Gel'fand და Shilov 1968, Volume I, §1.1, p. 1
  2. Strichartz 1994, Problem 2.6.2