დირაკის დელტა ფუნქცია

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება
დირაკის დელტა ფუნქციის სქემატური ილუსტრაცია.
დირაკის დელტა ფუნქცია, როგორც გაუსის განაწილების \delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2} (როდესაც a\to 0) მიმდევრობის ზღვრული შემთხვევა.

დირაკის დელტა ფუნქცია, ან δ ფუნქცია, წარმოადგენს განზოგადებულ ფუნქციას დამოკიდებულს რეალურ ცვლადზე, ისე, რომ ფუნქციის მნიშვნელობა ტოლია ნულის ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის გარდა იმ შემთხვევისა,როდესაც პარამეტრის მნიშვნელობა ნულის ტოლია, ხოლო ამ ფუნქციის ინტეგრალი −∞ დან ∞ -მდე 1-ის ტოლია. ეს ფუნქცია შგანსაზღვრული იქნა ფიზიკოს-თეორეტიკოსის პოლ დირაკის მიერ. დირაკის დელტა ფუნქცია წარმოადგენს კრონეკერის სიმბოლოს უწყვეტ ანალოგს.

განმარტება[რედაქტირება]

დირაკის დელტა ფუნქცია შეიძლება წარმოვიდგინოთ როგორც ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობა ნულის ტოლია ყველა წერტილში გარდა ნულისა, სადაც მისი მნიშვნელობა უსასრულოა:

\delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}

ასევე, განმარტების თანახმად იგი აკმაყოფილებს პირობას.

\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1.[1]

ეს განმარტება გარკვეულწილად ევრისტიკულია. დირაკის დელტა ფუნქცია არ წარმოადგენს რეალურ ფუნქციას. მისი მკაცრი გამნარტება შესაძლებელია განაწილების ან ზომის ცნების გამოყენებით.

თვისებები[რედაქტირება]

სიმეტრია და მასშტაბური ინვარიანტობა[რედაქტირება]

დირაკის დელტა ფუნქცია აკმაყოფილებს შემდეგ მაშტაბურ ინვარიანტობის თვისებას ნებისმიერი არანულოვანი α სკალარისთვის:[2]

\int_{-\infty}^\infty \delta(\alpha x)\,dx
=\int_{-\infty}^\infty \delta(u)\,\frac{du}{|\alpha|}
=\frac{1}{|\alpha|}.

გარდა ამისა, დირეკის დელტა ფუნქცია არის ლუწი ფუნქცია, ასე რომ

\delta(-x) = \delta(x).

სხვანაირად, დირაკის ფუქცია არის ერთგავროვანი ფუნქცია −1-ის ტოლი ერთგვაროვნების ინდექსით.

ალგებრული თვისებები[რედაქტირება]

განაწილება, რომელიც მიიღება δ-ფუნქციის x-ზე ნამრავლით ნულის იგივურად ტოლია:

x\delta(x) = 0.

საპირისპიროდ, თუ xf(x) = xg(x), სადაც f და g განაწილებებია, მაშინ

f(x) = g(x) +c \delta(x)

სადაც c დაიმე მუდმივია.

წანაცვლება[რედაქტირება]

დროში წანაცვლებული დელტა ფუნქციის ინტეგრალი მოიცემა როგორც:

\int\limits_{-\infty}^\infty f(t) \delta(t-T)\,dt = f(T).

კავშირი კრონეკერის სიმბოლოსთან[რედაქტირება]

კრონეკერის სიმბოლო delta \delta_{ij} არის სიდიდე, რომელიც განისაზღვრება როგორც

\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j\\
0 &i\not=j
\end{cases}

i და j ნატურალური მნიშვნელობებისთვის. ეს ფუნქცია აკმაყოფილებს წანაცვლების თვისების მსგავს თვისებას: თუ (a_i)_{i \in \mathbb{Z}} არის ნებისმიეირ უსასტულო მიმდევრობა, მაშინ

\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ik}=a_k.

ანალოგიურად, ნებისმიეირი უწყვეტი ფუნქციისთვის f განსაზღვრულს რაიმე არეში \mathbb{R}, დირალის დელტა ფუნცია აკმაყოფილებს წანაცვლების თვისებას

\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).

იხილეთ აგრეთვე[რედაქტირება]

სქოლიო[რედაქტირება]

  1. Gel'fand და Shilov 1968, Volume I, §1.1, p. 1
  2. Strichartz 1994, Problem 2.6.2