კანტორის თეორემა

ვიკიპედიიდან

სიმრავლეთა თეორიაში კანტორის თეორემა, გვეუბნება რომ, ნებისმიერი სიმრავლის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე უფრო მაღალი კარდინალობისაა ვიდრე თვითონ ეს სიმრავლე. ანუ შეუძებელია არსებობდეს ფუნქცია სიმრავლიდან მის ქვესიმრავლეთა სიმრავლეში, რომლისთვისაც მნიშვნელობათა არე მთელი ქვესიმრავლეთა სიმრავლეა.

გეორგ კანტორმა ეს თეორემა, თავისი დამტკიცებით (რომელიც აქვეა მოყვანილი) გამოაქვეყნა 1891 წელს. მიუხედავად იმისა, რომ მანამდე არსებობდა ნამდვილი რიცხვების სიმრავლის არათვლადობის სხვა დამტკიცებები, ეს დამტკიცება მათზე უფრო მარტივი აღმოჩნდა და დღემდე ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის არათვლადობა ამ დამტკიცების გამოყენებით ისწავლება.

[რედაქტირება] დამტკიცება

ამ თეორემის დამტიკების ყველაზე გავრცელებული მეთოდი ცნობილია როგორც კანტორის დიაგონალური არგუმენტი. რადგან, როდესაც ამ მეთოდით ვამტკიცებთ რომ ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე არათვლადია, იმ ფუნქციას, რომლიც არარსებობას ვამტკიცებთ კვადრანტში ვწერთ და მის დიაგონალზე განლაგებულ რიცხვებს განვიხილავთ.

უშუალოდ დამტკიცება კი ასეთია:

დავუშვათ A არის განსახილველი სიმრავლე P(A) კი მის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე. დავუშვათ თეორემის საწინააღმდეგო - რომ არსებობს ფუნქცია f A-დან P(A)-ში, რომელიც P(A)-ს თითოეულ ელემენტს ფარავს.

განვიხილოთ A-ს შემდეგი ქვესიმრავლე. $B=\left\{\,x\in A : x\not\in f(x)\,\right\}.$

მაშინ სიმრავლე B არის f-ის მნიშვნელობათა არეში დაშვების თანახმად. ანუ B=f(x) (სადაც x A-ს რომელიმე ელემენტია). გვაქვს ორი შესაძო შემთხვევა.

1. $x\in f(x)$ ანუ B-ს განმარტებით $x\not\in B$ . მაგრამ f(x) და B ერთიდაიგივეა და არ შეიძლება x თან ეკუთვნოდეს და თან არ ეკუთვნოდეს ერთსადაიმავე სიმრავლეს.

2. $x\not\in f(x)$ ანუ B-ს განმარტებით $x\in B$ . ამ შემთხვევაშიც იგივე პრობლემას ვაწყდებით.

ანუ ორივე შემთხვევას წინააღმდეგობაში შევყავართ. შესაბამისად ჩვენი საწყისი დაშვება f ფუნქციის არსებობის შესახებ არასწორი იყო. რითიც თეორემა დამტკიცებულია.

კანტორის თეორემა

ვიკიპედიიდან

[რედაქტირება] დამტკიცება

გადახედვა

პირადი ხელსაწყოები

ნავიგაცია

მონაწილეობა

ძიება

ინსტრუმენტები

სხვა ენებზე