გრადიენტი

ვექტორულ აღრიცხვაში რაიმე სკალარული ველის გრადიენტი არის ვექტორული ველი, რომელიც მიმართულია სკალარული ველის მაქსიმალური ზრდის მიმართულების გასწვრივ, ხოლო მისი სიდიდე მაქსიმალური ცვლილების სიდიდის ტოლია.

ამ სურათებზე სკალარული ველი მოცემულია შავ-თეთრი ფერებით, სადაც შავი ფერი შეესაბამება ფუნქციის უდრო დიდ მნიშვნელობებს, ხოლო შესაბამისი ფუნქციის გრადიენტი მოცემულია ლურჯი ისრების მეშვეობით.

მაგალითები

სამგანზომილებიანი ფუნქციის $f(x,y)= xe^{-x^2 - y^2}$ გრადიენტი (აღნიშნულია ლურჯი ისრებით).

განვიხილოთ რაიმე ოთახი, რომელშიდაც ტემპერატურა განისაზღვრება სკალარული ფუნქციით $T$, ისე რომ ნებისმიერ $(x,y,z)$ წერტილში ტემპერატურა არის $T(x,y,z)$. ოთახის ნებისმიერ წერტილში ტემპერატურის გრადიენტი გვიჩვენებს მიმართულებას, რომლის გასწვრივაც ტემპერატურის ცვლილების ტემპი მაქსიმალურია, ხოლო მისი მნიშვნელობა განსაზღვრავს რამდენად სწრაფად იცვლება ტემპერატურა ამ მიმართულებით.

განვიხილოთ რაიმე ზედაპირი, რომლის სიმაღლე ზღვის დონიდან რაიმე $(x, y)$ წერტილში არის $H(x, y)$. რაიმე წერტილში $H$ ფუნქციის გრადიენტი არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია ამ წერტილში ყველაზე ციცაბო დახრის გასწვრივ.

განმარტება

f(x,y) = −(cos²x + cos²y)² ფუნქციის გრადიენტი დაგეგმილებული სიბრტყეზე.

რაიმე $f(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n)$ სკალარული ფუნქციის გრადიენტი აღინიშნება როგორც $\nabla f$ ან $\vec{\nabla} f$, სადაც $\nabla$ (ლაპლასიანი) აღნიშნავს ვექტორული დიფერენცირების ოპერატორს. გრადიენტის აღსანიშნავად ასევე გამოიყენება აღნიშვნა $\operatorname{grad}(f)$. f ფუნქციის გრადიენტი განისაზღვრება როგორც ვექტორული ველი, რომლის კომპონენტები არის:

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right).$

გრადიენტი სამგანზომილებიან ორთოგონალურ სისტემებში

გრადიენტის გამოსახულება დამოკიდებულია გამოყენებულ კოორდინატთა სისტემაზე. დეკარტეს კოორდინატთა სისტემაში ზემოთ მოყვანილი გამოსახულება იღებს შემდეგ სახეს

$\nabla f(x, y, z) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

რომელიც სტანდარტული ერთეულოვანი ვექტორების $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}$ და $\hat{\mathbf{k}}$ გამოყენებით ასე ჩაიწერება:

$\frac{\partial f}{\partial x} {\mathbf{\hat i}} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{\mathbf{j}} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{\mathbf{k}}$

მაგალითი

მაგალითად, დეკარტეს კოორდინატებში შემდეგი ფუნქციის

$f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)$

გრადიენტი არის:

$\nabla f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) = \left( 2, 6y, -\cos(z)\right).$

გრადიენტი სხვა კოორდინატთა სისტემებში

ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემში გრდიენეტი მოიცება შემდეგი გამოსახულებით:

$\nabla f(\rho, \phi, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_\phi+ \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_z$

სადაც $\phi$ არის აზიმუტის კუთხე, $z$ არის აქსიალური კოორდინატი, ხოლო e_ρ, e_φ და e_z არიან ღერძების გასწვრივ მიმართული ერთეულოვანი ვექტორები.

სფერულ კოორდინატებში გრადიენტი მოიცემა შემდეგი გამოსახულებით:

$\nabla f(r, \theta, \phi) = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r+ \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta+ \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_\phi$

სადაც $\phi$ არის აზიმოტს კუთხე და $\theta$ ზენიტის კუთხე.

ალგორითმის მაგალითი პროგრამა Matlab-ში

%***********************************************************************%
% გამოყენება: [g, FunEval] = Grad (fun, x0)
%         x0: წერტილი, რომელშიც განისაზღვრება გრადიენტი. 
%          g: ვექტორი, რომელიც შეიცავს გრადიენტის მნიშვნელობას x0 წერტილში. 
 
function [g, Eval] = Grad (fun, x0) 
%
%   ცვლადების განსაზღვრა 
%
Size    = size(x0);
Eval    = 0;
 
Number_of_elements = Size(2);
 
  for i= 1:Number_of_elements      
     x0_pi  = x0;
     x0_mi  = x0;
 
      if  x0(i)== 0
              h = 1e-9;  % delta   
      else
              h = x0(i)/1e3;  % delta   
      end
 
     x0_pi(i)  = x0(i) + h;
     x0_mi(i)  = x0(i) - h;
 
     %   წარმოებულის გამოთვლა 
 
     %   წარმოებულის მიახლოება 
 
     g(i,1)  = (fun(x0_pi) - fun(x0_mi))/(2*h);
     Eval    = Eval +1;
  end
end

იხილეთ აგრეთვე

• დივერგენცია
• როტორი
• ვექტორული აღრიცხვა

სქოლიო

• Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, New York: Dover Publications, pp. 157–160, ISBN 0-486-41147-8, OCLC 43864234 .
• Schey, H.M. (1992), Div, Grad, Curl, and All That (2nd ed.), W.W. Norton, ISBN 0-393-96251-2, OCLC 25048561 .