დივერგენცია

ვექტორულ აღრიცხვაში დივერგენცია არის ვექტორული ოპერატორი რომელიც არის სკალარული სიდიდე და ახასიათებს ვექტორული ველის წყაროს მოცემულ წერტილში. უფრო კონკრეტულად, დივერგენცია წარმოადგენს მოცემული წერილის ინფინიტეზიმალური (უსასრულოდ მცირე) არიდან გარეთ მიმართული ნაკადის მოცულობით სიმკვრივეს.

განმარტება

ვექტორული F ველის დივერგენცია რაიმე p iწერტილში განიმარტება როგორც ამ წერტილის მომცველი რაიმე გლუვი F ზედაპირის გამჭოლი ნაკადისა და ამ ზედაპირით შემოსაზღვრული V მოცულობის ფარდობის ზღვარს, როდესაც V მოცულობა მიისწრაფის ნულისკენ, ანუ

$\operatorname{div}\,\mathbf{F}(p) = \lim_{V \rightarrow \{p\}} \iint_{S(V)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \over |V| } \; dS$

სადაც |V | არის V მოცულობა, S(V) არის ამ მოცულობის შემოსაზღვრელი ზედაპირი V, ხოლო ინტეგრალი წარმოადგენს ზედაპირული ინტეგრალი სადაც n არის ზედაპირიდან გარეთ მიმართლი ნორმალი (ერთეულოვანი ვექტორი). შედეგი, div F, წარმადგენს p წერტილის მდებარეობის ფუნქციას.

ფიზიკაში ვექტორული ველს ნულოვანი დივერგენციით უკუმშვადი, ან სოლენოიდალური ეწოდება. ასეთი ველისთვის ვებისმიერი ჩაკეტილი ზედაპირის გამჭოლი ნაკადი ნულის ტოლია.

დივერგენცია დეკარტეს კოორდინატთა სისტემაში

ვთქვათ x, y, z ქმნიან დეკარტეს კოორდინართა სისტემას სამგანზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში, და ვთქვათ i, j, k არიან შესაბამისი ბაზისის ერთეულოვანი ვექტორები.

რაიმე უწყვეტად წარმოებადი F = U i + V j + W k ვექტორული ველის დივერგენცია განისაზღვრება როგორც:

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial U}{\partial x} +\frac{\partial V}{\partial y} +\frac{\partial W}{\partial z }.$

მიუხედავად იმისა, რომ ეს განმარტება გამოსახულია კონკრეტულ კოორდინატთა სისტემაში იგი ინვარიანტულია ორთოგონალური გარდაქმნები მიმართ.

დივერგენციია მიღებული აღნიშვნაა ∇·F, სადაც წერტილი აღნიშნავს სკალარულ ნამრავლს.

უწყვეტად წარმოებადი ტენზორული $\underline{\underline{\epsilon}}$ ველის დივერგენცია განისაზღვრება როგორც:

$\overrightarrow{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\underline{\underline{\epsilon}}}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial \epsilon_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial y} +\frac{\partial \epsilon_{xz}}{\partial z} \\[6pt] \frac{\partial \epsilon_{yx}}{\partial x} +\frac{\partial \epsilon_{yy}}{\partial y} +\frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial z} \\[6pt] \frac{\partial \epsilon_{zx}}{\partial x} +\frac{\partial \epsilon_{zy}}{\partial y} +\frac{\partial \epsilon_{zz}}{\partial z} \end{bmatrix}$

თვისებები

დივერგენცია წარმოადგენს წრფივ ოპერაციას რომელსაც ახსიათებს შემდეგი თვისებები. ნებისმიერი ვექტორული F და G ველებისთვის და a და b ნამდვილი რიცხვებისთვის

$\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) + b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )$

გამრავლების წესი: ნებისმიერი სკალარული $\varphi$ ფუნქციისთვის და F ვექტორული ველისთვის სამართლიანია ტოლობა

$\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),$

ორი ვექტორული F და G ველების ვექტორული ნამრავლისთვის გვაქვს

$\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{curl}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{curl}(\mathbf{G}),$

ან, ექვივალენტურად (ლაპლასიანის გამოყენებით)

$\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).$

ნებისმიერი ვექტორული ველის როტორის დივერგენცია იგივურად ნულის ტოლია.

$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0$.

იხილეთ აგრეთვე

• დივერგენციის თეორემა
• როტორი
• გრადიენტი
• ლაპლასიანი

სქოლიო

1. Brewer, Jess H. (1999-04-07). DIVERGENCE of a Vector Field. Vector Calculus. წაკითხვის თარიღი: 2007-09-28.
2. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157–160 გვ.. ISBN 0-486-41147-8.