რგოლი (მათემატიკა)

პოლინომები ქმნიან პოლინომთა რგოლს შეკრებისა და კომპოზიციის მიმართ.

რგოლი – მათემატიკაში, კერძოდ აბსტრაქტულ ალგებრაში არის ალგებრული სტრუქტურა, რომელშიც განმარტებულია ორი ბინარული ოპერაცია და ისინი აკმაყოფილებენ გარკვეულ პირობებს.

რგოლების მაგალითებია მთელ რიცხვები, პოლინომები, მატრიცები და ა.შ.

მათემატიკური განმარტება

რგოლი არის სტრუქტურა (R, +, *, 0, 1), სადაც R არის სიმრავლე, + და * წარმოადგენს ორ ოპერაციას (ხშირად მოიხსენიება, როგორც შეკრება და გამრავლება, თუმცა კერძო შემთხვევებში შეიძლება განსხვავდებოდეს მათი ჩვეულებრივი გაგებისგან) განმარტებულს ამ სიმრავლეზე, 0 და 1 კი ამ ოპერაციების ნეიტრალურ ელემენტებს, შესაბამისად. რგოლი, განმარტების თანახმად, აკმაყოფილებს შემდეგ აქსიომებს:

1. (R, +, 0) არის კომუტაციური ჯგუფი:

• (a + b) + c = a + (b + c)
• 0 + a = a + 0 = a
• ყოველი a–სთვის არსებობს ელემენტი -a (მოიხსენიება, როგორც მოპირდაპირე ელემენტი) ისეთი რომ, a + −a = −a + a = 0
• a + b = b + a (კომუტაციურობა)

2. (R, ·, 1) არის მონოიდი:

• (a·b)·c = a·(b·c)
• 1·a = a·1 = a

3. ოპერაციები დაკავშირებულია დისტრიბუციულობის აქსიომებით:

• a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
• (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

რგოლს, რომელშიც მონიოდი (R,·,1) კომუტაციურია, ანუ a·b=b·a, კომუტაციური რგოლი ეწოდება. მაგალითად, მთელი რიცხვების რგოლი და პოლინომთა რგოლი კომუტაციური რგოლებია, ხოლო მატრიცების რგოლი მოცემულ ველზე – არაკომუტაციური.

კომუტაციურ რგოლს, რომელშიც ყველა ნულისგან განსხვავებულ a ელემენტს გააჩნია შებრუნებული გამრავლების ოპერაციის მიმართ b, ანუ a·b = b·a = 1, ეწოდება ველი.