კლინის თეორემა უძრავი წერტილის შესახებ

მასალა ვიკიპედიიდან — თავისუფალი ენციკლოპედია
Jump to navigation Jump to search

დალაგების და მესრების თეორიაში, კლინის უძრავი წერტილის თეორემა, რომელიც ატარებს ამერიკელი მათემატიკოსის სტივენ კოულ კლინის, სახელს, შემდეგნაირია:

ვთქვათ სრული ნაწილობრივი დალაგებაა (CPO), და არის სკოტის აზრით უწყვეტი (და მაშასადამე მონოტონური) ფუნქცია. მაშინ -ს გააჩნია უმცირესი უძრავი წერტილი, რომელიც არის -ის შესაბამისი კლინის აღმავალი ჯაჭვის სუპრემუმი.

-ის შესაბამისი კლინის აღმავალი ჯაჭვი არის ჯაჭვი

შედგენილი -ის იტერაციებით -ის უმცირეს ელემენტზე .

სიმოკლისათვის:

სადაც აღნიშნავს უმცირეს უძრავ წერტილს.

ამ შედეგს ხშირად ალფრედ ტარსკის მიაწერენ, მაგრამ ტარსკის უძრავი წერტილი თეორემა შეეხება მონოტონურ ფუნქციებს სრულ მესრებზე.

დამტკიცება[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

ჯერ ვაჩვენოთ -ის შესბამისი კლინის ჯაჭვის არსებობა -ში. ამისათვის დავამტკიცოთ შემდეგი ლემა:

ლემა 1:თუ არის CPO, და სკოტის აზრით უწყვეტია, მაშინ

დავამტკიცოთ ინდუქციით -ის მიმართ:

  • დავუშვათ . მაშინ , რადგან უმცირესი ელემენტია.
  • დავუშვათ . საჩვენებელია რომ . ინდუქციის დაშვებით გვაქვს . რადგან მონოტონურია სამართლიანია რისი ჩვენებაც გვინდოდა.

ლემიდან უშუალოდ გამომდინარეობს კლინის ჯაჭვის არსებობა.

ვთქვათ არის ჯაჭვის ელემენტთა სიმრავლე: . ლემა 1-დან გამომდინარეობს რომ ჯაჭვი არის მიმართული -ჯაჭვი. CPO-ს გამნარტებიდან გამომდინარეობს რომ ამ სიმრავლეს აქვს სუპრემუმი, ავღნიშნოთ ის -ით. საჩვენებელი დარჩა მხოლოდ ის, რომ უმცირესი უძრავი წერტილია.

თავდაპირველად ვაჩვენოთ, რომ უძრავი წერტილია, სხვა სიტყვებით . რადგან არის სკოტის აზრით უწყვეტი , , რაც იგივეა რაც . რადგანაც და ასევე რადგან არ ღებულობს მონაწილეობას სუპრემუმის დადგენისას, გვაქვს . აქედან კი , რაც იმას ნიშნავს რომ არის -ის უძრავი წერტილი.

იმის საჩვენებლად რომ სინამდვილეში უმცირესი უძრავი წერტილია საკმარისია ვაჩვენოთ რომ სიმრავლის ყველა ლემენტი ნაკლებია ვიდრე -ის ნებისმიერი უძრავი წერტილი (რადგან სუპრემუმის (უმცირესი ზედა საზღვრის) განმარტებიდან, თუ ყველა ელემენტი სიმრავლიდან ნაკლებია ვიდრე სიმრავლის რაიმე დაფიქსირებული ელემენტი , მაშინ ასევე ნალებია ვიდრე ).

ვაჩვენოთ ეს ინდუქციის საშუალებით: დავუშვათ არის -ის რაიმე უძრავი წერტილი. დავამტკიცოთ ინდუქციით -ს მიმართ რომ . ავიღოთ : ცხადია სრულდება, რადგან უმცირესი ელემენტია -ში. ინდუქციის დაშვებად ავიღოთ . ინდუქციის ბიჯი: ინდუქციის დაშვებიდან და -ის მონოტონურობიდან, შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი: . რადგანაც არის -ის უძრავი წერტილი, გვაქვს , საიდანაც ვღებულობთ .

იხილეთ აგრეთვე[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

ლიტერატურა[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

  • S.C. Kleene "Introduction to Metamathematics (Bibliotheca Mathematica)" 1952 ISBN-13: 978-0923891572