დისპერსია

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება

ალბათობის თეორიასა და მათემატიკურ სტატისტიკაში დისპერსია წარმოადგენს მონაცემთა გაფანტულობის საზომს. შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია ეწოდება რიცხვს, რომელიც გამოხატავს, თუ რამდენადაა გაფანტული შემთხვევითი სიდიდის მნიშვნელობები მისი მათემატიკური ლოდინიდან. დისპერსია წარმოადგენს მეორე რიგის ცენტრალურ მომენტს.


განმარტება[რედაქტირება]

თუ \scriptstyle X შემთხვევითი სიდიდეა, მაშინ მისი დისპერსია აღინიშნება, როგორც \scriptstyle D(X) და

\begin{align}
        \operatorname{D}(X) &= \operatorname{E}[(X - \mu)^2]\,.
\end{align}

სადაც \mu=E[X] არის \scriptstyle X შემთხვევითი სიდიდის ლოდინი. შემდგომი მარტივი გარდაქმნებით დისპერსია შესაძლებელია შემდეგ სახეზე იქნას მიყვანილი:

\begin{align}
     \operatorname{D}(X) 
      &= \operatorname{E}[(X - \mu)^2] \\
      &= \operatorname{E}[X^2 - 2\mu X + \mu^2] \\
      &= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu\,\operatorname{E}[X] + \mu^2 \\
      &= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 \\
      &= \operatorname{E}[X^2] - \mu^2 \\
      &= \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2.
  \end{align}

როგორც წესი, დისპერსია აღინიშნება, როგორც \scriptstyle\sigma_X^2 ან, თუ ცხადია, რომელი შემთხვევითი სიდიდის დისპერსიაზეა ლაპარაკი, უბრალოდ \scriptstyle\sigma^2 (სიგმა კვადრატი), სადაც \scriptstyle\sigma საშუალო სტანდარტული გადახრაა. დასავლურ ლიტერატურაში მიღებულია ტერმინი „ვარიაცია“ და შემდეგი ფორმალური ჩაწერა: \operatorname{Var}(X).


თვისებები[რედაქტირება]

  • დისპერსია ყოველთვის არაუარყოფითია: D[X] \geqslant 0;
  • თუ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია სასრულია, მაშინ მისი მათემატიკური ლოდინიც სასრულია;
  • თუ შემთხვევითი სიდიდე მუდმივია, მაშინ მისი დისპერსია ნულის ტოლია: D[a] = 0. სამართლიანია შებრუნებულიც: თუ D[X]=0, მაშინ X =E[X] თითქმის ყველგან;
  • ორი შემთხვევით სიდიდის ჯამის დისპერსია შემდეგნაირად გამოითვლება:
    \! D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2\,\text{cov}(X, Y), სადაც \! \text{cov}(X, Y) — ამ შემთხვევით სიდიდეთა კოვარიაციაა;
  • ზოგადად, ნებისმიერი რაოდენობა შემთხვევითი სიდიდეების წრფივი კომბინაციისთვის სამართლიანია შემდეგი ტოლობა:
    \! D\left[\sum_{i=1}^n c_i X_i\right] = \sum_{i=1}^n c_i^2 D[X_i] + 2\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} c_i c_j\, \text{cov}(X_i, X_j), სადაც c_i \in \R;
კერძოდ, \displaystyle D[X_1 + ... + X_n] = D[X_1] + ... + D[X_n], თუ შემთხვევითი სიდიდეები \displaystyle X_1 , ... , X_n დამოუკიდებლებია (ამ შემთხვევაში მათი კოვარიაცია ნულის ტოლია);
  • D\left[aX\right] = a^2D[X];
  • D\left[-X\right] = D[X];
  • D\left[X+b\right] = D[X].


მაგალითი[რედაქტირება]

ვთქვათ, მოცემულია \displaystyle [0,1] სეგმენტზე თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი სიდიდე \displaystyle X, ანუ განაწილების სიმკვრივეს აქვს შემდეგი სახე:


f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x\in [0,1] \\
0, & x \not\in [0,1].
\end{matrix}
\right.

გამოვთვალოთ ამ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია.

E\left[X^2\right] = \int\limits_0^1\!x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},
E\left[X\right] = \int\limits_0^1\! x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.

საბოლოოდ:

D[X] = E\left[X^2\right] - (E[X])^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.

იხილეთ აგრეთვე[რედაქტირება]

ლიტერატურა[რედაქტირება]

  • ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია, ალბათობის თეორია – თსუ, 2005
  • Ширяев А.Н, Вероятность - Наука, Москва, 1989 ISBN 5-02-013955-6

რესურსები ინტერნეტში[რედაქტირება]