ნორმალური განაწილება

ნორმალური განაწილება გრაფიკულად

ალბათობის თეორიაში ნორმალური განაწილება (იგივე გაუსის განაწილება) წარმოადგენს უწყვეტი ტიპის განაწილებას. ის აღწერს ისეთი შემთხვევითი სიდიდის განაწილებას, რომელიც კონცენტრირებულია ერთი მნიშვნელობის ირგვლივ. გრაფიკულად ნორმალურ განაწილების სიმკვრივეს ზარის ფორმა აქვს. ანალიზურად იგი შემდეგნაირად ჩაიწერება:

$f(x)={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},$

სადაც $\mu$ პარამეტრი წარმოადგენს განაწილების მათემატიკურ ლოდინს, ანუ x-ის იმ მნიშვნელობას, რომლის გარშემოც კონცენტრირდება განაწილება (რომლის მოხდენის ალბათობაც ყველაზე დიდია), ხოლო $\sigma ^{2}$ ახასიათებს განაწილების დისპერსიას (იგივე ვარიაციას), ანუ გაფანტულობას. რაც უფრო დიდია ამ უკანასკნელის მნიშვნელობა, მით უფრო "ბრტყელია" განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი და პირიქით. ფუნქცია სიმეტრიულია $x=\mu$ წრფის მიმართ და სრულდება პირობა p(x)→0, როდესაც x→±∞, ანუ რაც უფრო გადახრილია მნიშვნელობა მათემატიკური ლოდინიდან, მით უფრო ნაკლებია მისი მოხდენის ალბათობა.

კერძო შემთხვევაში, თუ $\mu =0$ და $\sigma ^{2}=1$ მაშინ გვაქვს სტანდარტული ნორმალური განაწილება.

ნორმალური განაწილება ერთი-ერთი ყველაზე ხშირად გამოყენებადი და ფართოდ გავრცელებული განაწილებაა, რაც განპირობებულია მისი დიდი როლით ცენტრალურ ზღვარით თეორემაში. ცენტრალური ზღვარითი თეორემის მიხედვით, დამოუკიდებელი და ერთნაირად განაწილებული გარკვეული ტიპის შემთხვევითი სიდიდეების საშუალო არითმეტიკული მიისწრაფის სტანდარტული ნორმალური განაწილებისკენ, როდესაც ამ შემთხვევითი სიდიდეების რაოდენობა უსასრულოდ იზრდება. პრაქტიკულად ეს ნიშნავს, რომ იმ მოვლენათა განაწილება, რომლებზეც ბევრი დაახლოებით ერთნაირი ფაქტორი მოქმედებს, შეიძლება ჩაითვალოს სტანდარტულ ნორმალურ განაწილებად. მაგალითად, რაიმე ობიექტის სიგრძის გაზომვის ცდომილებები განაწილებულია სტანდარტული ნორმალური განაწილებით.

ნორმალური განაწილება პარამეტრებით μ და σ² აღინიშნება როგორც $N(\mu ,\sigma ^{2})$. კერძოდ, სტანდარტული ნორმალური განაწილება აღინიშნება, როგორც $N(0,1)$.