გადალაგება

კომბინატორიკაში, გადალაგება არის სიმრავლის ელემენტების ისეთი გადანაცვლება, რომელშიც არც ერთი ელემენტი არ ემთხვევა თავისი პოზიციის ნომერს.

$n$-ელემენტიანი სიმრავლის გადალაგებების რაოდენობა ცნობილია, როგორც $n$-ის ქვეფაქტორიალი, ან გადალაგების $n$-ური წევრი და აღნიშნავენ, როგორც: !n, D_n ან d_n.

დამტკიცებადია, რომ $!n=n!/e$, სადაც $e$ არის ეილერის რიცხვი.

გადალაგებების ამოცანა პირველად განიხილა პიერ რეიმონდ დე მონტმორტმა 1708 წელს და ამოხსნა 1713 წელს, ამავე დროს ნიკოლას ბერნულიმაც.

მაგალითი

24 გადანაცვლებიდან გამოკვეთილია 9 გადალაგება

დავუშვათ, მასწავლებელმა ტესტირება ჩაუტარა $4-A,B,C,D$ სტუდენტს და სურს, რომ მათ ერთმანეთის ტესტები შეაფასონ. ცხადია, რომ მას არ უნდა რომელიმე სტუდენტმა თავისი ნაშრომი მიიღოს. კითხვა შემდეგია: რამდენი გზა არსებობს ტესტების დარიგებისა ისეთი, რომ არც ერთმა სტუდენტმა თავისი ნაშრომი არ მიიღოს? $4!=24$ შესაძლებელი გადანაცვლებიდან

არსებობს მხოლოდ 9 გადალაგება (იხ. სურათი) და სხვა გადანაცვლებებში ერთი მაინც სტუდენტი არსებობს, რომელიც თავის ნაშრომს (ანუ აკრძალულს) იღებს მასწავლებლისგან.

ამ ამოცანის უამრავი ინტერპრეტაცია არსებობს, მაგრამ ცხადია, რომ ყველა დაიყვანება გადალაგების $n$-ური წევრის გამოთვლამდე.

გადალაგებების გამოანგარიშება

დავუშვათ, დგას $n$ ადამიანი, გადანომრილი $1$ - დან $n$ - ის ჩათვლით, ასევე $n$ ქუდი, გადანომრილი ასევე $1$ - დან $n$ - ის ჩათვლით. ვიპოვოთ იმ გზების რაოდენობა, რომლებშიც არც ერთი ადამიანი თავისი ნომრის ქუდს არ იხურავს. დავუშვათ, პირველი ადამიანი იხურავს $i$-ურ ქუდს. $i$-ური ქუდის ამორჩევის სულ $(n-1)$ ვარიანტია, რადგან მხოლოდ პირველი ქუდის დახურვა არ შეუძლია. ამის შემდეგ ამოცანა შეიძლება ორ ნაწილად გავყოთ, $i$ - ური ადამიანის არჩევანის მიხედვით.

1. თუ $i$ - ურმა ადამიანმა საპასუხოდაც პირველი ქუდი აიღო, მაშინ ორი ადამიანი და ორი ქუდი მოგვარდა, დაგვრჩა გადავალაგოთ $n-2$ ადამიანი და $n-2$ ქუდი.
2. თუ $i$ - ურმა ადამიანმა პირველი არ აიღო, მაშინ გვექნება $n-1$ გადალაგება. რადგან პირველი არ გვაქვს, მე-$2$ ადამიანი ვერ აიღებს მე-$2$ ქუდს, მე-$3$ ადამიანი ვერ აიღებს მე-$3$-ს, $i$-ურ ვერ აიღებს პირველ ქუდს (რადგან ეს ვარიანტი უკვე განვიხილეთ) $(i+1)$ - ურ ვერ აიღებს $(i+1)$ ურ ქუდს. ანუ დაგვრჩა $(n-1)$ ადამიანი, და თითოეულს ერთი აკრძალული ქუდი აქვს, შესაბამისად გვაქვს $(n-1)$ გადალაგება.

აქედან გამომდინარეობს შემდეგი რეკურენტული ფორმულა:

$!n=(n-1)({!(n-1)}+{!(n-2)}).\,$

სადაც $!0=1$ და $!1=0$.

ლიტერატურა

• de Montmort, P. R. (1708). Essay d'analyse sur les jeux de hazard. Paris: Jacque Quillau. Seconde Edition, Revue & augmentée de plusieurs Lettres. Paris: Jacque Quillau. 1713.
• Hassani, M. "Derangements and Applications." J. Integer Seq. 6, No. 03.1.2, 1–8, 2003