ამპერის კანონი

კლასიკურ ელექტროდინამიკაში ამპერის კანონი, რომელიც აღმოჩენილი იქნა ანდრე მარი ამპერის მიერ 1826 წელს, აკავშირებს ჩაკეტილ კონტურში გამავალ ელექტრულ დენს მის ირგვლივ წარმოქმნილი მაგნიტურ ველთან. მაქსველმა ხელახლა გამოიყვანა ეს კანონი ელექტროდინამიკის ფარგლებში 1861 წელს (და შეიტანა მასში მნიშვნელოვანი შესწორება წანაცვლების დენის სახით). დღესდღეობით ამპერის კანონი (მაქსველის შესწორებით) არის ოთხი მაქსველის განტოლებიდან ერთ-ერთი, რომლებიც კლასიკური ელექტროდინამიკის საფუძველს შეადგენენ.

ამპერის ფორმულირება

ელექტრული დენი აგენერირებს მაგნიტურ ველს.

თავისი ისტორიული ფორმით ამპერის კანონი ერთმანეთთან აკავშირებს ელექტრულ დენს და მის მიერ გენერირებულ მაგნიტურ ველს. ისევე როგორც ელექტროდინამიკის სხვა კანონები, ამპერის კანონსაც აქვს ორი ექვივალენტური ფორმა: ე.წ. ინტეგრალური და დიფერენციალური. ორივე ფორმა ექვივალენტურია და დაკავშირებულია ერთმანეთთან სტოქსის თეორემით.

ინტეგრალური ფორმა

SI სისტემის ერთეულებში (გაუსის ერთეულთა სისტემაში კანონის ფორმულირება იხილეთ ქვევით) ამპერის კანონს (მაქსველის კორექციის — წანაცვლების დენის გარეშე) აქვს სახე:

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} _{\mathrm {f} }\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

ან ექვივალენტურად,

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }$

სადაც

$\textstyle \oint _{C}$ — წირითი ინტეგრალი რაიმე ჩაკეტილ ს C კონტურზე;

B — მაგნიტური ინდუქცია ტესლებში;

· აღნიშნავს სკალარულ ნამრავლს;

dℓ — C წირის უსასრულოდ მცირე ელემენტი (ანუ ვექტორი, რომლის სიდიდე ელემენტის სიგრძის ტოლია, ხოლო მიმართულება კი მოცემულ წერტილში წირის მხების მიმართულებას ემთხვევა);

$\textstyle \iint _{S}$ აღნიშნავს ინტეგრალს C წირით შემოსაზღვრულ S ზედაპირზე;

μ₀ — მაგნიტური მუდმივა;

J_f — თავისულფალი დენის სიმკვრივე C წირით შემოსაზღვრულ S ზედაპირზე;

dS — S ზედაპირის უსასრულოდ მცირე ვექტორული ელემენტი (ანუ ვექტორი, რომლის სიდიდე ელემენტის ფართობის ტოლია, ხოლო მიმართულება მოცემულ წერტილში S ზედაპირის გარე ნორმალის მიმართულებას ემთხვევა; და

I_enc — სრული თავისუფალი დენი, რომელიც გადის S ზედაპირში.

ასეთ განმარტება მოიცავს გარკვეულ განუზღვრელობას:

პირველი, განტოლებაში შემავალი სამი წევრი არ არის ცალსახად განსაზღვრული (განსაზღვრულია ნიშნის სიზუსტით). წირითი ინტეგრალი $\textstyle \oint _{C}$ შეიძლება აღებული იქნას ჩაკეტილი წირის გასწვრივ ორივე მიმართულებით (როგორც საათის ისრის, ასევე მის საწინააღმდეგოდ); ვექტორული ფართობის ელემენტი dS-ის მიმართულება შეიძლება არჩეული იქნას ნებისმიერად (ანუ ის შეიძლება მიმართული იქნას მოცემულ წერტილში S ზედაპირის ორივე ნორმალის პარალელურად); დენი I_enc-ს განმარტებაში დადებით მიმართულებად შეიძლება არჩეული იქნას ნებისმიერი, ორი შესაძლო მიმართულებიდან. ამ განუზღვრელობას ხსნის ე.წ. მარჯვენა ხელის წესი: თუ მარჯვენა ხელის გული მოთავსებულია ინტეგრების არის პარალელურად და საჩვენებელი თითი გაშვერილია წირითი ინტეგრალის ინტეგრების მიმართულებით, მაშინ (ხელის გულის მართობულად) გაშლილი ცერა თითი მიუთითებს იმ მიმართულებას, რომელიც უნდა იქნას აღებული dS ფართობის ელემენტის დადებით მიმართულებად. ასევე, დენი, რომელიც გადის dS ელემენტი პარალელურად უნდა იქნას განხილული როგორც დადებითი.

მეორე განუზღვრელობა იმაში მდგომარეობს, რომ არსებობს უსასრულოდ ბევრი S ზედაპირი, რომელიც შემოსაზღვრულია პირობითი C წირით. ერთი შეხედვით არაა ცხადი, რომელი ზედაპირი უნდა იქნას არჩეული ინტეგრებისთვის. ამ განუზღვრელობის გადაჭრის გზა ასეთია: ამპერის კანონი ამტკიცებს, რომ S ზედაპირი შეიძლება იყოს ნებისმიერი. ანუ ზემოთ მოყვანილი განტოლება სამართლიანია ნებისმიერი S ზედაპირისთვის, რომელიც შემოსაზღვრულია C წირით.

დიფერენციალური ფორმა

სტოქსის თეორემის გამოყენებით ამპერის კანონი შეიძლება ჩაწერილი იქნას აგრეთვე დიფერენციალური ფორმით. ისევე როგორც ზემოთ, განტოლება სამართლიანია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ელექტრული ველის დაძაბულობა მუდმივია დროში (განზოგადება იხ. ქვევით). SI სისტემაში განტოლებას აქვს სახე

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J_{f}}$

სადაც

$\mathbf {\nabla } \times \!\$ არის როტორის ოპერატორი.

თავისუფალი და ბმული დენები

ელექტრული დენი, რომელიც გვხვდება უმარტივეს ამოცანებში სინამდვილეში წარმოადგენს ე.წ. თავისუფალ დენს. მაგალითად, დენი, რომელიც გადის რაიმე გამტარში, ან ბატარეაში. ამის საპორისპიროდ, მბული დენი ჩნდება პოლარიზებად ან დამაგნიტებად სხეულებში.

როდესაც მაგნიტურად აქტიური ნივთიერება მოთავსებულია გარე მაგნიტურ ველში, მისი ელექტრონები რჩებიან ბმული თავის ატომებში, მაგრამ მცირედ იცვლიან ტრაექტორიას (კვანტური მექანიკის მიხერვით განაწილების ფუნქციას), ისე რომ ქმნიან მიკროსკოპულ დენს. ყველა ატომის მოკრსკოპული დენის ჯამი ქმნის მაკროსკოპულ დენს, რომელიც ცირკულირებს სხეულის გარშემო (ვინაიდან სხეულის შიგნით სხვადასხვა მიკროსკოპული დენები ერთმანეთს აკომპენსირებს). ეს დენი, რომელსაც დამაგნიტების დენი ეწოდება წარმოადგენს ბმული დენის პირველ სახეობას.

ბმული დენის მეორე წყაროა ბმული მუხტი. როდესაც დიელექტრიკზე მოდებულია ელექტრული ველი, ხდება მისი ატომებში დადებითი და უარყოფითი მუხტების საშუალო მდებარეობის მიკროსკოპული დაშორება (ანუ დიელექტრიკი პოლარიზდება). ბმული მუხტის მოძრაობა იწვევს დენს (ე.წ. პოლარიზაციული დენი J_P) რომელიც ბმული დენის მეორე წყაროს შეადგენს.

შესაბამისად, სრული დენი J შეიძლება განვიხილოთ როგორც თავისუფალი და ბმული დენების ჯამი:

$\mathbf {J} =\mathbf {J_{f}+J_{M}+J_{P}} \ ,$

სადაც J_f არის თავისუფალი დენის სიმკვრივე.

აღსანიშნავია, რომ თავისუფალ და ბმულ დენებს შორის რაიმე ფუნდამენტური განსხვავება არ არსებობს. მაგრამ კონკრეტულ ამოცანებში არსებობს სერიოზული პრაქტიკული მიზეზები ამ დენების ცალ-ცალკე განსახილველად. ხშირად არ არის აუცილებელი განსახილველი სხეულის/გარემოს მაგნიტურ თვისებებში დეტალური ჩაღრმავება.დენების გაყოფა თავისუფლას და ბმულას საშუალებას იძლევა ჩამოვაყალიბოთ ამპერის კანონი მხოლოდ თავისუფალი დენის მეშვეობით, თუ მაგნიტური ინდუქცია B -ს ნაცვლად განვიხილავთ მაგნიტური ველის დაძაბულობა H-ს. შედეგად, თუ (ექსპერიმენტულად ან თეორიულად) ცნობილია კავშირი მოცემული სხეულისთვის B -სა და H-ს შორის (იხ. მაგნიტური შეღწევადობა), მაშინ კონკრეტული ამოცანის ამოსახსნელად შეიძლება საერთოდ არ აღმოჩნდეს აუცილებელი სხეულის/ამოცანის მიკროსკოპული დეტალების განხილვა.

ამპერის ფორმულირების ხარვეზები

ამპერის კანონთან დაკავშირებით არსებობს ორი საკითხი, რომელიც უფრო დეტალურ ანალიზს საჭიროებს. პირველი ეხება ელექტრული მუხტის უწყვეტობის განტოლებას. ვექტორული ანალიზიდან ცნობილია, რომ ნებისმიერი ვექტორული ველის როტორის დივერგენცია ნულის ტოლია. მაშასადამე ∇·(∇×B) = 0 და თუ ზემოთ მოყვანილი ფორმულირებით ამპერის კანონიდან გამომდინარეობს, რომ ∇·J = 0. მაგრამ ზოგად შემთხვევაში მუხტის შენახვის კანონს აქვს სახე ∇·J  = −∂ρ/∂t, ანუ დენის სიმკვრივის დივერგენცია არ არის ნულის ტოლი, თუ მუხტის სიმკვრივე დროში იცვლება.

მეორე პრობლემა ეხება ელექტრომაგნიტური ტალღის გავრცელებას. მაგალითად ვაკუუმში, სადაც J = 0, ამპერის კანონი გვაძლევს ∇×B = 0 (რაც შეიძლებელს ხდის ვაკუუმში ელექტრომაგნიტური ტალღის გავრცელებას), იმის ნაცვლად რომ გვქონდეს მართებული თანაფარდობა ∇×B = −(1/c²) ∂E/∂t.

ამ პრობლემების გადაჭრა შესაძლებელია ამპერის კანონში ე.წ. წანაცვლების დენის დამატებით, რაც განახორციელა ჯეიმზ კლარკ მაქსველმა.

წანაცვლების დენი

ვაკუუმში წანაცვლების დენი დაკავშირებულია ელექტრული ველის დაძაბულობის დროში ცვლილების ტემპთან.

დიელექტრიკულ გარემოში გარდა ამ ნაწილისა, წანაცვლების დენს აქვს მეორე კომპონენტი, რომელიც დაკავშირებულია დიელექტრიკული გარემოს თითოეული მოლეკულის/ატომის პოლარიზაციასთან. მოიხედავად იმისა, რომ დიელექტრიკში დამუხტულ ნაწილაკებს თავისუფლად გადაადგილება არ შეუძლიათ, ელექტრული ველის გავლენით დადებითად და უარყოფითად დამუხტული ნაწილაკები წაინაცვლებენ მოლეკულაში/ატომში საწინააღმდეგო მიმართულებით, რაც იწვევს პოლარიზაციის ზრდას. ეს უკანასკნელი აღიწერება პოლარიზაციის ვექტორით P, ხოლო პოლარიზაციის ცვლილება დროში დენის ექვივალენტურია.

წანაცვლების დენში ორივე ამ წვლილის გათვალისწინება გვაძლევს

$\mathbf {J_{D}} ={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} ({\boldsymbol {r}},\ t)\ ,$

სადაც ელექტრული ინდუქცია განიმარტება როგორც:

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ ,$

აქ ε₀ არის ელექტრული მუდმივა ხოლო P არის პოლარიზაციის ვექტორი. თუ ამ განტოლებას წინაში ჩავსვამთ, მივიღებთ, რომ წანაცვლების დენო ორი ნაწილისგან შედგება:

$\mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.$

პირველი წევრი არსებობს ნებისმიერ გარემოში, მათ შორის ვაკუუმში. ის არ ასოცირდება რაიმე მუხტის მოძრაობასთან, არამედ დაკავშირებულია მაგნიტურ ველთან. ზოგიერთი ავტორი მხოლოდ ამ ნაწილს უწოდებს წანაცვლების დენს

განტოლების არჯვენა მხარეში მყოფი მეორე წევრი არის ის წანაცვლების დენი, რომელიც შემოღებული იქნა მაქსველის მიერ.

პირველად ფორმულირების განზოგადება: მაქსველ-ამპერის განტოლება

წანაცვლების დენის გათვალისწინებით ამპერის კანონს (მაქსველ-ამპერის განტოლება) ინტეგრალური ფორმით აქვს სახე:

$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{S}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

სადაც H არის მაგნიტური ველის დაძაბულობა, D არის ელექტრული ინდუქცია, ხოლო J_f არის თავისუფალი დენის სიმკვრივე. იგივე განტოლების დიფერენციალურ ფორმას აქვს სახე:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} \ .$

მეორე მხრივ, თუ არ განვაცალებთ თავისუფალ და ბმულ მუხტებსა და დენებს, მაშინ იგივე განტოლება მიიღებს სახეს:

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{S}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

ხოლო დიფერენციალური ფორმა იქნება

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} )\ .$

ორივე განტოლებაში J აღნიშნავს სრულ (ანუ ყველა ტიპის მუხტების მოძრაობით გამოწვეულ) დენის სიმკვრივეს, ანუ გვაქვს:

$\mathbf {J_{f}+J_{D}+J_{M}} =\mathbf {J_{f}+J_{P}+J_{M}} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ ,$

სადაც J_D არის წანაცვლების დენი. წანაცვლების დენის შემოღებით ბუნებრივად იხსნება წინააღმდეგობა ამპერის კანონსა და მუხტის შენახვის კანონს შორის.

წანაცვლების დენის დამატებამ მაქსველს მისწა საშუალება (მართებულად) ევარაუდა, რომ სინათლე არის ელექტრომაგნიტური ტალღა.

ამპერის კანონი გაუსის ერთეულებში

გაუსის ერთეულთა სისტემაში ამპერის კანონს (წანაცვლების დენის გათვალისწინებით) აქვს სახე

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}={\frac {1}{c}}\iint _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

სადაც c არის სინათლის სიჩქარე.

ხოლო დიფერენციალურ ფორმას შემდეგნაირად ჩაიწერება

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right).$

იხილეთ აგრეთვე

• ბიო-სავარის კანონი
• წანაცვლების დენი
• მაქსველის განტოლებები
• ფარადეის ინდუქციის კანონი
• სტოქსის თეორემა

რესურსები ინტერნეტში

პორტალი ფიზიკა

• Simple Nature by Benjamin Crowell დაარქივებული 2011-06-03 საიტზე Wayback Machine. ამპერის კანონი ინტერნეტ სახელმძღვანელოში. (ინგლისური)
• A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field მაქსველის 1864 წლის შრომა. (ინგლისური)