სამკუთხედი

სამკუთხედი.

სამკუთხედი — უმარტივესი მრავალკუთხა გეომეტრიული ფიგურა (მრავალკუთხედი) სამი გვერდითა და სამი კუთხით; სიბრტყის ნაწილი, რომელიც ერთ წრფეზე არმდებარე სამი წერტილითა და მათი შემაერთებელი სამი მონაკვეთით შემოიფარგლება. სამკუთხედი შეიძლება იყოს მრავალი სახის, მაგრამ ყოველ მათგანს გააჩნია ექვსი ძირითადი ელემენტი: წვეროებით და გვერდებით შედგენილი სამი შიგა კუთხე და სამი გვერდი. ყოველი სამკუთხედი ამოზნექილი მრავალკუთხედია.

სამკუთხედის ტიპები

სამკუთხედების კლასიფიკაცია ხდება მათი გვერდების სიგრძეთა შედარებით:

• ტოლგვერდა სამკუთხედში ყველა გვერდს ტოლი სიგრძე აქვს. ტოლგვერდა სამკუთხედი ასევე ტოლკუთხაა, ანუ მისი ყველა შიგა კუთხე ერთმანეთის ტოლია და 60°-ია. ასეთ სამკუთხედს წესიერი სამკუთხედიც ჰქვია.
• ტოლფერდა სამკუთხედში მინიმუმ ორი გვერდი მაინც არის ერთმანეთის ტოლი. ტოლ გვერდებს ფერდები ეწოდებათ, მესამე გვერდს კი - ფუძე. ფუძესთან მდებარე კუთხეები ტოლფერდა სამკუთხედში ტოლია. ტოლგვერდა სამკუთხედი ასევე ტოლფერდაცაა, თუმცა არა პირიქით - ყველა ტოლფერდა სამკუთხედი ტოლგვერდა არ არის.
• სხვადასხვაგვერდა სამკუთხედში ყველა გვერდი სხვადასხვა სიგრძისაა. მისი შიგა კუთხეებიც ერთმანეთისგან განსხვავდება.

ტოლგვერდა	ტოლფერდა	არაწესიერი

სამკუთხედების კლასიფიკაცია ასევე შესაძლებელია მათი უდიდესი შიგა კუთხის მიხედვით:

• მართკუთხა (სწორკუთხა) სამკუთხედის შიდა კუთხე 90°-ია (მართია). მართი კუთხის მოპირდაპირე გვერდს ჰიპოტენუზა ჰქვია, და ის მართკუთხა სამკუთხედის უდიდესი გვერდია. დანარჩენ ორ გვერდს კათეტები ეწოდება.
• ბლაგვკუთხა სამკუთხედის ერთი შიგა კუთხე 90°-ს აღემატება (ბლაგვია).
• მახვილკუთხა სამკუთხედის ყველა შიგა კუთხე 90°-ზე მცირეა (მახვილია).

მართი	ბლაგვი	მახვილი

ძირითადი ნიშნები

სამკუთხედის ნებისმიერ გარე კუთხე (შიგა კუთხის მოსაზღვრე კუთხე) მისი ორი არამოსაზღვრე შიგა კუთხის ჯამის ტოლია. ნებისმიერი სამკუთხედისთვის, მისი გვერდები და კუთხეები აუცილებლად უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ პირობებს:

• სამკუთხედის შიგა კუთხეების ჯამი 180°-ია.
• ნებისმიერი ორი გვერდის სიგრძეთა ჯამი მეტია მესამე გვერდის სიგრძეზე. ეს ფაქტი სამკუთხედის უტოლობის სახელითაა ცნობილი.

სამკუთხედის კუთხეებსა და გვერდებს შორის არსებობს გარკვეული კავშირი. მაგ., თუ ვუდარებთ ორ გვერდს და მათ მოპირდაპირე ორ კუთხეს, მაშინ უდიდესი გვერდის პირდაპირ უდიდესი კუთხე მდებარეობს. საზოგადოდ, სამკუთხედში უფრო დიდი გვერდის პირდაპირ უფრო დიდი კუთხე იმყოფება. ამას ეფუძნება ის, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა უდიდესი გვერდია (მართლაც, მართკუთხა სამკუთხედში უდიდესი კუთხე მართი კუთხეა), ბლაგვკუთხა სამკუთხედში კი - ბლაგვი კუთხის მოპირდაპირე გვერდი.

ორ სამკუთხედს ტოლი ეწოდება, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ძირითადი ელემენტები (სამი გვერდი + სამი კუთხე). იმისათვის რომ ტოლი სამკუთხედების ტოლობაში დავრწმუნდეთ, არაა საჭირო მათი თითოეული ელემენტის შედარება. უმჯობესია გამოვიყენოთ სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები:

• I ნიშანი: თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის მდებარე კუთხე ტოლია მეორე სამკუთხედის ორი გვერდის და მათ შორის მდებარე კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
• II ნიშანი: თუ ერთი სამკუთხედის ერთი გვერდი და მასთან მდებარე ორი კუთხე ტოლია მეორე სამკუთხედის ერთი გვერდის და მასთან მდებარე ორი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
• III ნიშანი: თუ ორ სამკუთხედს ერთი და იგივე სიგრძის გვერდები აქვს, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.

თუ გვინდა ორი მართკუთხა სამკუთხედის ტოლობის ჩვენება, უნდა გავითვალისწინოთ, რომ მათ თითო კუთხე მართი და, შესაბამისად, ტოლი აქვთ. ამასთანაა დაკავშირებული მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები:

• I ნიშანი: თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და მახვილი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის და მახვილი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
• II ნიშანი: თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის კათეტი და მისი მოპირდაპირე კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის კათეტის და მისი მოპირდაპირე კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
• III ნიშანი: თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და კათეტი, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის და კათეტის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.

მსგავსი სამკუთხედები.

თუ მოცემული ორი ABC და A₁B₁C₁ სამკუთხედისთვის სრულდება: ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁ და ∠C=∠C₁, მაშინ მათ ეწოდებათ მსგავსი სამკუთხედები და ვწერთ: ΔABC~ΔA₁B₁C₁. უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ჩანაწერში წვეროების მიმდევრობაში დგას ტოლი კუთხეების შესაბამისი წვეროები. თუ ΔABC~ΔA₁B₁C₁, A და A₁, B და B₁, C და C₁ წვეროებს შესაბამისი ეწოდებათ. შესაბამისი წვეროებისგან შედგენილ გვერდებსაც შესაბამისი გვერდები ეწოდებათ.

მსგავს სამკუთხედებში შესაბამისი გვერდების შეფარდება მუდმივი სიდიდეა, რომელსაც მსგავსების ან პროპორციულობის კოეფიციენტი ეწოდება. მაგ., თუ ΔABC~ΔMNK, მაშინ არსებობს k≠0 მსგავსების კოეფიციენტი, რომლისთვისაც ${AB \over MN}={BC \over NK}={AC \over MK}=k$, ანუ AB=kMN, BC=kNK, AC=kMK. ასე რომ, სამკუთხედების ტოლობა სამკუთხედების მსგავსების კერძო შემთხვევაა მსგავსების კოეფიციენტით 1. სამკუთხედების მსგავსების დასადგენად გამოიყენება სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები:

• I ნიშანი: თუ ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის ორი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.
• II ნიშანი: თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი, შესაბამისად, პროპორციულია მეორე სამკუთხედის ორი გვერდის და ამ გვერდებით შედგენილი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.
• III ნიშანი: თუ ერთი სამკუთხედის გვერდები, შესაბამისად, პროპორციულია მეორე სამკუთხედის გვერდების, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.

რადგან მართკუთხა სამკუთხედებს თითო კუთხე მართი და, შესაბამისად, ტოლი აქვთ, მათთვის სამკუთხედების მსგავსების პირველი ორი ნიშანი შემდეგია:

• I ნიშანი: მართკუთხა სამკუთხედები მსგავსია, თუ მათ თითო მახვილი კუთხე ტოლი აქვთ.
• II ნიშანი: მართკუთხა სამკუთხედები მსგავსია, თუ ერთი მათგანის კათეტები მეორეს კათეტების პროპორციულია.

სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის პარალელური წრფით დანარჩენი ორი გვერდის გადაკვეთისას მოცემული სამკუთხედის მსგავსი სამკუთხედი „ჩამოიჭრება“.

სამკუთხედების მსგავსებასთანაა დაკავშირებული მისი ერთი თვისება: ნებისმიერ სამკუთხედში რომელიმე გვერდის პარალელური და დანარჩენი ორი გვერდის გადამკვეთი წრფით მიღებული სამკუთხედი მოცემული სამკუთხედის მსგავსია.

მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრების (ისევე, როგორც მედიანების, ბისექტრისების და სიმაღლეების) შეფარდება მსგავსების კოეფიციენტის ტოლია, ფართობების შეფარდება კი - მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის.
მართკუთხა სამკუთხედების უმნიშვნელოვანესი თვისებაა, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი კათეტების კვადრატების ჯამის ტოლია. ეს დებულება პითაგორას თეორემის სახელითაა ცნობილი. საზოგადოდ:

• თუ სამკუთხედის ერთი გვერდის კვადრატი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამის ტოლია, ეს სამკუთხედი მართკუთხაა (პითაგორას თეორემის შებრუნებული თეორემა).
• თუ სამკუთხედის ერთი გვერდის კვადრატი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამზე მეტია, ეს სამკუთხედი ბლაგვკუთხაა.
• თუ სამკუთხედის უდიდესი გვერდის კვადრატი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამზე ნაკლებია, ეს სამკუთხედი მახვილკუთხაა.

სამკუთხედის პერიმეტრი, მასთან დაკავშირებული მონაკვეთები, წერტილები და წრეწირები

პერიმეტრი

სამკუთხედის პერიმეტრი ეწოდება მისი გვერდების სიგრძეთა ჯამს. ABC სამკუთხედისთვის P-თი აღნიშნავენ: P=AB+BC+AC. საჭიროებისამებრ, p-თი აღნიშნავენ ნახევარპეტრიმეტრს:

$p={P \over 2}={AB+BC+AC \over 2}$

აღსანიშნავია, რომ მსგავსი სამკუთხედების პეტრიმეტრების შეფარდება მსგავსების კოეფიციენტის ტოლია - მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრები ისე შეეფარდება, როგორც შესაბამისი გვერდები.

მედიანა

სამკუთხედის სამივე მედიანა ერთ წერტილში იკვეთება.

მედიანა ეწოდება მონაკვეთს, რომელიც სამკუთხედის ნებისმიერ წვეროს აერთებს მისი მოპირდაპირე გვერდის შუაწერტილთან. სამკუთხედის სამივე მედიანა ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი თითოეულ მედიანას ყოფს პროპორციით 2:1 წვეროს მხრიდან. მედიანით სამკუთხედი ორ ტოლდიდ (ტოლი ფართობის მქონე) სამკუთხედად იყოფა. მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხის წვეროდან გავლებული მედიანა ჰიპოტენუზის ნახევარია, ხოლო ჰიპოტენუზისადმი გავლებული მედიანა ამ სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსის ტოლია .

ბისექტრისა

სამკუთხედის სამივე ბისექტრისა ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი ამ სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრია

სამკუთხედის შიგა კუთხის ბისექტრისის მონაკვეთს კუთხის წვეროდან მის მოპირდაპირე გვერდამდე სამკუთხედის ბისექტრისა ეწოდება. ნებისმიერი სამკუთხედის სამივე ბისექტრისა ერთ წერტილში იკვეთება, რომელიც ყოველთვის სამკუთხედის შიგნით მდებარეობს. სამკუთხედის ბისექტისათა გადაკვეთის წერტილი ამ სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრია.

სიმაღლე

სამკუთხედის სამივე სიმაღლის შემცველი წრფეები ერთ წერტილში იკვეთება.

სამკუთხედის სიმაღლე ეწოდება მონაკვეთს, რომელიც სამკუთხედის ნებისმიერ წვეროს აერთებს მის მოპირდაპირე გვერდათან ან მოპირდაპირე გვერდის გაგრძელებასთან და მისი მართობულია. სამკუთხედის სამივე სიმაღლის შემცველი წრფეები ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი:

• მახვილკუთხა სამკუთხედში სამკუთხედის შიგნითაა.
• მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხის წვეროა.
• ბლაგვკუთხა სამკუთხედში სამკუთხედის გარეთაა.

ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძეზე დაშვებული სიმაღლე ამავდროულად მედიანაცაა და ბისექტრისაც. ტოლგვერდა სამკუთხედის ყველა სიმაღლე მედიანცაა და ბისექტრისაც. აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში 30°-იანი კუთხის მოპირდაპირე კათეტი ჰიპოტენუზის ნახევარია.

შემოხაზული წრეწირი

სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის ცენტრი მისი გვერდების შუამართობების გადაკვეთის წერტილია.

წრეწირს, რომელიც მოცმეული სამკუთხედის სამივე წვეროზე გადის, სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირი ეწოდება, თავად სამკუთხედს კი - წრეწირში ჩახაზული სამკუთხედი. სამკუთხედის სამივე გვერდის შუამართობები ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის ცენტრია. სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის დიამეტრი ამ სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდისა და ამ გვერდის მოპირდაპირე კუთხის სინუსის შეფარდების ტოლია. აგრეთვე, თუ სამკუთხედის გვერდებია a, b და с, ფართობი - S, მასზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი კი - R, $R={abc \over 4S}$. მართკუთხა სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი ჰიპოტენუზის ნახევარია, მისი ცენტრი კი - ჰიპოტენუზის შუაწერტილი. ტოლგვერდა სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი გამოითვლება ფორმულით $R={a \over {\sqrt {3}}}$, სადაც a ამ სამკუთხედის გვერდია, R - მასზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი.

ჩახაზული წრეწირი

სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრი მისი ბისექტრისების გადაკვეთის წერტილია.

წრეწირს, რომელიც მოცმეული სამკუთხედის სამივე გვერდს ეხება, სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირი ეწოდება, თავად სამკუთხედს კი - წრეწირზე შემოხაზული სამკუთხედი. სამკუთხედის სამივე ბისექტრისა ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრია. სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი ამ სამკუთხედის ფართობისა და ნახევარპერიმეტრის შეფარდების ტოლია. ანუ, თუ სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრია p, ფართობი - S, მასში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი კი - r, $r={S \over p}$. თუ მართკუთხა სამკუთხედის კათეტებია a და b, ჰიპოტენუზა - c, ჩახაზული წრეწირის რადიუსი იქნება ${a+b-c \over 2}$.

ტოლგვერდა სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი გამოითვლება ფორმულით $r={a \over 2{\sqrt {3}}}$, სადაც a ამ სამკუთხედის გვერდია, r - მასში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი.

დამოკიდებულებები სამკუთხედში

სინუსების თეორემა: სამკუთხედის გვერდები მოპირდაპირე კუთხეების სინუსების პროპორციულია.

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

კოსინუსების თეორემა: სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს გამოკლებული ამ გვერდებისა და მათ შორის მდებარე კუთხის კოსინუსის გაორკეცებული ნამრავლი.

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \,\gamma$

სამკუთხედის კუთხეების ჯამი: α + β + γ = 180° (π)

სადაც a, b და c სამკუთხედის გვერდებია, α, β და γ - ამ გვერდების მოპირდაპირე კუთხეები შესაბამისად.

სხვა დამოკიდებულებები

1. ${a \over b}={a_{L} \over b_{L}}$ - დამოკიდებულება იმ მონაკვეთებისთვის, რომლებსაც მოკვეთს ბისექტრისა მოპირდაპირე გვერდზე.
2. $l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}={\sqrt {ab-a_{L}b_{L}}}$ - ბისექტრისის პოვნა.
3. $m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}$ - მედიანის პოვნა.
4. $h_{c}={2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}} \over c}$ - სიმაღლის პოვნა.
5. $\operatorname {ctg} A={b^{2}+c^{2}-a^{2} \over 4S}$
6. $\operatorname {ctg} A+\operatorname {ctg} B+\operatorname {ctg} C={a^{2}+b^{2}+c^{2} \over 4S}$
7. $\operatorname {tg} A+\operatorname {tg} B+\operatorname {tg} C=\operatorname {tg} A\operatorname {tg} B\operatorname {tg} C$
8. $\operatorname {ctg} B\operatorname {ctg} C+\operatorname {ctg} C\operatorname {ctg} A+\operatorname {ctg} A\operatorname {ctg} B=1$

აქ

a, b, c – სამკუთხედის გვერდები, A, B, C – ამ გვერდების მოპირდაპირე კუთხეები, შესაბამისად

l_c – с გვერდის მოპირდაპირე წვეროს ბისექტრისა

a_L, b_L – მონაკვეთები, რომლებსაც l_c ბისექტრისა c გვერდზე მოკვეთს

m_c – c გვერდის მოპირდაპირე წვეროს მედიანა

h_c – c გვერდის მოპირდაპირე წვეროდან დაშვებული სიმაღლე

p – სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი

S – სამკუთხედის ფართობი

ფართობი

სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის სხვადასხვაგვარი გზები არსებობს. მაგ.:

• სამკუთხედის ფართობი მისი ერთ-ერთი გვერდის და ამ გვერდისადმი დაშვებული სიმაღლის ნამრავლის ნახევარია.
• სამკუთხედის ფართობი მისი რაიმე ორი გვერდისა და ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსის ნამრავლის ნახევარია.
• ჰერონის ფორმულა: თუ სამკუთხედის გვერდებია a, b და с, ფართობი - S, ნახევარპერიმეტრი - p, სამკუთხედის ფართობი :$S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}=$

$={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

• სამკუთხედის ფართობი მისი ნახევარპეტრიმეტრისა და მასში ჩახაზული წრეწირის რადიუსის ნამრავლის ტოლია.
• თუ სამკუთხედის გვერდებია a, b და с, მასზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი - R, სამკუთხედის ფართობია ${abc \over 4R}$.
• მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი მისი კათეტების სიგრძეების ნამრავლის ნახევარია.
• ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობია ${a^{2}{\sqrt {3}} \over 4}$, სადაც a ამ სამკუთხედის გვერდის სიგრძეა.
• $S={a^{2}\sin B\sin C \over 2\sin A}={a^{2}\sin B\sin(180^{\circ }-\angle A-\angle B) \over 2\sin A}={c^{2} \over 2(\operatorname {ctg} A+\operatorname {ctg} B)}$, სადაც a და c სამკუთხედის გვერდებია, A და C – მათი მოპირდაპირე კუთხეები, B – მესამე კუთხე.

ლიტერატურა

• გ. გოგიშვილი, თ. ვეფხვაძე, ი. მებონია, ლ. ქურჩიშვილი – გეომეტრია (მეცხრე კლასის სახელმძღვანელო). თბილისი, „ინტელექტი“, 2004.
• ბ. ღვაბერიძე, ფ. დვალიშვილი, ალ. მოსიძე, კ. გელაშვილი, გ. სირბილაძე – მათემატიკა: გეომეტრია.
• ა. პოგორელოვი - გემოეტრია 7-11. მეექვსე გამოცემა. გამომცემლობა „განათლება“, თბილისი - 1995.
• ს. თოფურია, გ. აბესაძე, გ. ოზბეგაშვილი, ვ. ხოჭოლავა, ზ. მეტრეველი - მათემატიკა, II ნაწილი. გეომეტრია (თეორია და ამოცანათა კრებული). მესამე გამოცემა. გამომცემლობა „განათლება“, თბილისი - 1991.

რესურსები ინტერნეტში

ვიკისაწყობში არის გვერდი თემაზე:

სამკუთხედი

• სამკუთხედის ფართობი - 7 სხვადასხვა გზა
• ანიმაციური დემონსტრაცია სამკუთხედის აგების ფარგლისა და სახაზავის გამოყენებით.
• დამტკიცება იმის, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადიუსია
• სამკუთხედის კალკულატორი - აგებს სამკუთხედს მოცემული სამი ელემენტით (გვერდებით, კუთხეებით, ფართობით, სიმაღლით და მისთ.).
• ინტერაქტიული აპლეტი საკლასო ჩვენებისთვის.