წრფივი ალგებრა

წრფივი ალგებრა — მათემატიკის, უფრო ვიწროდ კი ალგებრის დარგი რომელიც შეისწავლის ვექტორებს, ვექტორულ სივრცეებს (სხვანაირად წრფივი სივრცე), წრფივ გარდაქმნებს და მსგავს მათემატიკურ სტრუქტურებს. წრფივი გარდაქმნა განსაკუთრებული ასახვაა, რომელიც ინახავს წრფივი სივრცის ოპერაციებს. წრფივი ალგებრა თანამედროვე მათემატიკის მნიშვნელოვანი დარგია. ის გამოიყენება წრფივი განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად, აბსტრაქტულ ალგებრასა და ფუნქციურ ანალიზში. წრფივი ალგებრის სტრუქტურების წარმოსახვაში ანალიტიკური გეომეტრია გვეხმარება. ის ფართოდ გამოიყენება ინჟინერიაში, ფიზიკასა და სხვადასხვა მეცნიერებებში.

ძირითადი სტრუქტურები

ვექტორული სივრცე

ვექტორული სივრცე წრფივი ალგებრის ძირითადი სტრუქტურაა. ვექტორული სივრცე V ველზე F შედგება სიმრავლისგან, რომელზეც შეკრებისა და სკალარზე გამრავლების ოპერაციები განისაზღვრება ისე, რომ

• თუ x და y V-ს ელემენტებია, მაშინ V-ში არსებობს ერთადერთი ელემენტი რომელიც (x+y)-ის ტოლია;
• თუ a F-ის ელემენტია, x კი — V-ს ელემეტი, მაშინ V-ში არსებობს ერთადერთი ელემენტი, რომელიც ax-ის ტოლია.

დამატებით სამართლიანია შემდეგი:

1. თუ x და y V-ს ელემენტებია, მაშინ x+y=y+x (შეკრების გადანაცვლებადობა);
2. თუ x, y და z V-ს ელემენტებია, მაშინ (x+y)+z = x+(y+z) (შეკრების ჯუფთებადობა);
3. V-ს ელემენტია 0, რომლისთვისაც V-ს ნებისმიერი ელემენტი x აკმაყოფილებს პირობას x+0=x;
4. თუ x V-ს ელემენტია, მაშინ არსებობს V-ს ელემენტი y, რომლისთვისაც x+y=0;
5. თუ x V-ს ელემენტია, მაშინ 1x=x;
6. თუ a და b F-ის ელემენტებია, x კი — V-ს ელემენტი, მაშინ (ab)x=a(bx);
7. თუ a F-ის ელემენტია, x და y კი — V-ს ელემენტი, მაშინ a(x+y)=ax+ay;
8. თუ a და b F-ის ელემენტებია, x კი —V-ს ელემენტი, მაშინ (a+b)x=ax+bx.

(x+y)-ს ეწოდება x-ისა და y-ის ჯამი, ax-ს კი — a-სა და x-ის ნამრავლი.

ვექტორული სივრცის ელემენტებს ვექტორები ეწოდება, ველის ელემენტებს კი — სკალარები. ამ სტატიაში ვექტორები კურსივით გამოისახება, სკალარები — არა (მაგალითად, 0 ვექტორია, 0 კი — სკალარი). ვექტორული სივრცის მე-3 თვისებიდან (ზემოთ) პირდაპირ გამომდინარეობს, რომ ვექტორული სივრცე არასდროს არ შედგება ცარიელი სიმრავლისგან. ელემენტარულად მტკიცდება, რომ მე-3 თვისებაში აღწერილი ვექტორი 0 უნიკალურია. აგრეთვე მარტივი დასანახია, რომ მე-4 თვისებაში აღწერილი ვექტორი y უნიკალურია. დამატებით შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ V-ს ნებისმიერი ელემენტისთვის x, 0x=0 და F-ის ნებისმიერი ელემენტისთვის a, a0=0.

წრფივი გარდაქმნა

ფუნქციას T ვექტორული სივრციდან V ვექტორულ სივრცეზე W ეწოდება წრფივი გარდაქმნა, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგს:

1. V-ს ვექტორებისთვის x და y, T(x+y)=T(x)+T(y);
2. ველის სკალარისთვის a და V-ს ვექტორისთვის x, T(ax)=a T(x).

წრფივი გარდაქმნა ყოველთვის შეგვიძლია წარმოვადგინოთ მატრიცის სახით, რაც აბსტრაქტულ ფუნქციებთან მუშაობას ამარტივებს.