მუხტის სიმკვრივე

წრფივი, ზედაპირული და მოცულობითი მუხტის სიმკვრივე არის ფიზიკური სიდიდე, რომელიც განსაზღვრავს მუხტის რაოდენობას წირის, ზედაპირის ან მოცულობის ერთეულში. მუხტის სიმკვრივის ერთეული SI სისტემაში არის კულონი მეტრზე (წრფივი), კულონი კვადრატულ მეტრზე (ზედაპირული) და კულონი კუბურ მეტრზე (მოცულობითი). ვინაიდან ბუნებაში არსებობს როგორც დადებით, ასევე უარყოფითი მუხტი, მუხტის სიმკვრივე (განსხვავებით ჩვეულებრივი სიმკვრივისგან) შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი.

მუხტის სიმკვრივე კლასიკურ ფიზიკაში

უწყვეტი მუხტი

The integral of the charge density $\alpha _{q}(\mathbf {r} )$, $\sigma _{q}(\mathbf {r} )$, $\rho _{q}(\mathbf {r} )$ over a line $l$, surface $S$, or volume $V$, is equal to the total charge $Q$ of that region, defined to be:

$Q=\int \limits _{L}\alpha _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} l$ (line integral)

$Q=\int \limits _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} S$ (surface integral)

$Q=\int \limits _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V$ (volume integral)

This relation defines the charge density mathematically. Note that the symbols used to denote the various dimensions of charge density vary between fields of studies. Other commonly used notations are $\lambda$, $\sigma$, $\rho$; or $\rho _{l}$, $\rho _{s}$, $\rho _{v}$ for (C/m), (C/m²), (C/m³) and respectively.

ერთგვაროვანი მუხტის სიმკვრივე

სპეციალურ შემთხვევაში, როდესაც მუხტის სიმკვრივე მუდმივია ($\rho _{q,0}$), ანუ არ არის დამოკიდებული კოორდინატებზე, ზემოთ მოყვანილი განტოლება მარტივდება და იღებს სახეს:

$Q=V\cdot \rho _{q,0}.$

The proof of this is simple. Start with the definition of the charge of any volume:

$Q=\int \limits _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V.$

Then, by definition of homogeneity, $\rho _{q}(\mathbf {r} )$ is a constant that we will denote $\rho _{q,0}$ to differentiate between the constant and non-constant forms, and thus by the properties of an integral can be pulled outside of the integral resulting in:

$Q=\rho _{q,0}\int \limits _{V}\,\mathrm {d} V=\rho _{q,0}\cdot V$

so,

$Q=V\cdot \rho _{q,0}.$

The equivalent proofs for linear charge density and surface charge density follow the same arguments as above.

დისკრეტული მუხტი

თუ რაიმე არეში მოხტის განაწილებილია $N$ წერტილოვანი მუხტის (მაგალითად ელექტრონების) სახით, მაშინ მუხტის სიმკვრივე შეიძლება გამოსახული იყოს დირაკის დელტა ფუნქცის მეშვეობით. მაგალითად, მოცულობითი მოხტის სიმკვრივე გამოისახება შემდეგნაირად:

$\rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\,\!$ ;

სადაც $\mathbf {r} \,\!$ არის რადიუს-ვექტორი, $q_{i}\,\!$ არის i მუხტის მატარებელის მუხტი, ხოლო მისი მდებარეობა არის $\mathbf {r} _{i}\,\!$ .

თუ ყველა მატარებლის მუხტი იდენტურია და $q$ ტოლია (ელექტრონებისთვის $q=-e$), მაშინ მუხტის სიმკვრივე შეიძლება გამოსახული იყოს მუხტის მატარებლების კონცენტრაციით $n(\mathbf {r} )$.

კვანტური მუხტის სიმკვრივე

კვანტურ მექანიკაში მუხტის სიმკვრივე დაკავშირებულია ტალღურ ფუნქციასთან $\psi (\mathbf {r} )$ შემდეგი განტოლებით

$\rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot |\psi (\mathbf {r} )|^{2}$

სადაც ტალღური ფუნქცია ნორმირებულია შემდეგნაირად

$Q=q\cdot \int |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d\mathbf {r} .$

გამოყენაბა

მუხტის სიმკვრივე ფიგურირებს უწყვეტობის განტოლებაში, და მაქსველის განტოლებებში, რომლებიც ელექტროდინამიკის საფუძველს წარმოადგენს.

იხილეთ აგრეთვე

• უწყვეტობის განტოლება
• მუხტი