ჰიპერკომპლექსური რიცხვი

ჰიპერკომპლექსური რიცხვი — რიცხვის განზოგადებული ცნება, უფრო ფართო, ვიდრე ჩვეულებრივი კომპლექსური რიცხვის ცნება განზოგადების აზრი ის არის, რომ ასეთ რიცხვებზე წვეულებრივი არითმეტიკული ოპერაციები ერთდროულად უნდა გამოსახავდნენ მრავალგანზომილებიან სივრცეში გარკვეულ გეომეტრიულ პროცესებს ან გვაძლევდნენ გარკვეულ ფიზიკურ კანონთა რაოდენობრივ აღწერას ისეთი რიცხვების აგებისას, რომლებიც იმავე როლს შეასრულებდნენ 3-განზომილებიანი სივრცისათვის, რასაც კომპლექსური რიცხვები ასრულებენ სიბრტყისათვის, გამოირკვა, რომ აქ არ შეიძლება იყოს სრული ანალოგია ამან განაპირობა ჰიპერკომპლექსურ რიცხვთა სისტემის შექმნა და განვითარება.

ჰიპერკომპლექსური რიცხვი წარმოადგეს $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ „საბაზისო ერთეულთა“ გარკვეული სისტემის წრფივ კომბინაციას (ნამდვილი რიცხვებითურთ): $x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+...+x_{n}e_{n}$(*) ისევე, როგორც კომპლექსური რიცხვი $x+iy$ წარმოადგენს ორი „საბაზისო ერთეულის“ (ნამდვილი ერთეული 1 და წარმოსახვითი ერთეული) წრფივ კომბინაციას იმისათვის, რომ გამოვიყენოთ ჰიპერკომპლექსური რიცხვები, პირველ რიგში, აუცილებელია განვსაზღვროთ მათზე არითმეტიკულ მოქმედებათა წესები ჰიპერკომპლექსურ რიცხვთა შეკრება-გამოკლება, ცხადია, ცალსახად განისაზღვრება, თუკი ახალი რიცხვებისთვის შევინარჩუნებთ არითმეტიკულ ძირითად ფესებს, სახელდობრ, „საბაზისო ერთეულთა“ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$, კომპონენტები შესაბამისად უნდა იკრიბებოდეს ან აკლდებოდეს. პრობლემის ჭეშმარიტი მნიშვნელობა ცხადად ჩანს მხოლოდ გამრავლების წესის დადგენისას. (*) სახის ჰიპერკომპლექსური რიცხვების წევრ-წევრად გადამრავლების დადგენისას იმ დასკვნამდე მივდივართ, რომ აუცილებელია $n^{2}$ ნამრავლის $e_{i}e_{k}(i=1,2,...,n;k=1,2,...,n)$ მნიშვნელობათა დადგენა. ამოცანის მიზანია ამ ნამრავლებს მივაწეროთ (*) სახის მნიშვნელობები, რომლებიც შეინახავდნენ ყველა ჩვეულებრივ არითმეტიკულ ოპერაციას. ამ მოთხოვნას აკმაყოფილებს (გარდა ნამდვილ რიცხვთა უმარტივესი შემთხვევისა) ჰიპერკომპლექსურ რიცხვთა ერთადერთი სისტემა – კომპლექსურ რიცხვთა სისტემა. ყველა სხვა ჰიპერკომპლექსურ რიცხვთა სისტემის დადგენისას კი აუცილებელია უარი ვთქვათ არითმ ამა თუ იმ წესზე. ჩვეულებრივ, ასეთ წესებს (რომლებიც ირღვევა) განეკუთვნება: გაყოფის შედეგის ცალსახობა, გამრავლების ოპერაციის გადანაცვლებადობა (კომუტატიურობა); წესი, რომლის მიხედვით, თუ ორი რიცხვის ნამრავლი ტოლია ნულისა, მაშინ ერთ-ერთი თანამამრავლი მაინც იქნება ნულის ტოლი და ა. შ. ჰიპერკომპლექსურ რიცხვთა უმნიშვნელოვანესი სისტემა — კვატერნიონები — მიიღება შეკრება-გამრავლების ყველა წესის შენარჩუნებით, გარდა გამრავლების გადანაცვლებადობისა.

ლიტერატურა

• ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 11, თბ., 1987. — გვ. 665.