ჯაჭვწილადი

ჯაჭვწილადი, უწყვეტი წილადი — რიცხვებისა და ფუნქციების წარმოდგენის ერთ-ერთი უმწიშვნელოვანესი ფორმა. გამოისახება შემდეგნაირად:

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}},$

სადაც a არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი, ხოლო $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{n}$, ... ნატურალური რიცხვებია, რომელთაც მოცემული ჯაჭვწილადის არასრულ ნაშთებს ან ელემენტებს უწოდებენ. $a$ რიცხვის ჯაჭვწილადად წარმოდგენისათვის საჭიროა ეს რიცხვი ჩავწეროთ შემდეგი სახით: $a=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}}}$, სადაც $a_{0}$ არის მთელი რიცხვი და $0<1/{a_{1}}<1$, შემდეგ ამავე სახით ჩავწეროთ $a_{1}$, რიცხვი და ა. შ.

ელემენტთა რიცხვი შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. ამასთან დაკავშირებით ჯაჭვწილადს ეწოდება სასრული ან უსასრულო. ჯაჭვწილადს ხშირად სიმბოლურად გამოსახავენ ასე: [$a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n},...$] (უსასრულო ჯაჭვწილადი), ან ასე: [$a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n}$] (სასრული ჯაჭვწილადი). სასრული ჯაჭვწილადი ყოველთვის რაციონალური რიცხვია და, პირიქით, ყოველი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოვიდგინოთ სასრული ჯაჭვწილადის სახით. ასეთი წარმოდგენა ერთადერთია, თუ მოვითხოვთ, რომ $a_{n}\neq 1\cdot [a_{0}:a_{1},...,a_{k}](k\leqslant n)$ სახის ჯაჭვწილადს, რომელიც ჩაწერილია $p_{k}/q_{k}$ უკვეცი წილადის სახით, ეწოდება მოცემული ჯაჭვწილადის $k$ რიგის მახლოვადი წილადი. მახლოვადი წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები ერთმანეთთან დაკავშირებულია რეკურენტული ფორმულებით: $p_{k+1}=a_{k+1}p_{k}+p_{k-1}q_{k+1}=a_{k+1}q_{k}+q_{k-1}$ რომლებიც წარმოადგენენ ჯაჭვწილადების თეორიის საფუძველს. ამ ფორმულებიდან უშუალოდ გამომდინარეობს მნიშვნელოვანი თანაფარდობა: $p_{k}q_{k+1}-q_{k}p_{k-1}=\pm 1$. ყოველი უსასრულო ჯაჭვწილადისთვის არსებობს ზღვარი: $\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {p_{k}}{q_{k}}}=a$, რომელსაც ეწოდება მოცემული ჯაჭვწილადის მნიშვნელობა. ყოველი ირაციონალური რიცხვი წარმოადგენს ერთადერთი უსასრულო ჯაჭვწილადის მნიშვნელობას.

ჯაჭვწილადის ფართოდ გამოყენებას განაპირობებს ის, რომ მახლოვადი წილადები $a$ რიცხვის საუკეთესო მიახლოებებია, ე. ი. ნებისმიერი სხვა წილადისათვის $m/n$, რომლის მნიშვნელიც არ აღემატება $q_{k}$-ს, სრულდება უტოლობა: $|na-m|>|q_{k}a-p_{k}|$; ამასთან, $|q_{k}a-p_{k}|<1/q_{k+1}$.

ჯაჭვწილადებს იყენებენ ირაციონალური რიცხვების რაციონალური რიცხვების მიახლოებისათვის. 1766 წელს ი. ლამბერტმა ჯაჭვწილადების გამოყენებით დაამტკიცა $e$ და $\pi$ რიცხვთა ირაციონალურობა, ხოლო ჟ. ლიუვილმა გამოიკვლია, რომ ნებისმიერი ალგებრული $n$ ხარისხის $a$ რიცხვისათვის შეიძლება ვიპოვოთ ისეთი მუდმივი $\lambda$, რომ ნებისმიერი $x/y$ წილადისათვის შესრულდეს უტოლობა: $|a-x/y|>\lambda /y^{n}$.

ჯაჭვწილადი გვხვდება უკვე XVI საუკუნეში იტალიელი მათემატიკოსის რ. ბომბელის ნაშრომებში. ჯაჭვწილადის თეორიის განვითარება დაკავშირებულია კ. ჰიუგენსის, ლ. ეილერისა და სხვა სახელებთან.

ლიტერატურა

• ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 11, თბ., 1987. — გვ. 549.