წესიერი მრავალკუთხედი

წესიერი მრავალკუთხედი
წესიერი მრავალკუთხედები
გვერდები და კუთხეები	$n$
შლეფლის სიმბოლო	$\{n\}$
კოქსეტერ-დინკინის დიაგრამა
შიდა კუთხე (გრადუსებში)	$(n-2)\times {\frac {\pi }{n}}$
შიდა კუთხეების ჯამი (გრადუსებში)	$\left(n-2\right)\times {\pi }$
ფართობი, S	$S={\tfrac {1}{4}}n{a}^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$
შემოხაზული წრეწირის რადიუსი, R	$R={\frac {a}{2}}\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)$
ჩახაზული წრეწირის რადიუსი, r	$r={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$
თვისებები
ამოზნექილი, კონციკლური, ტოლგვერდა, იზოგონალური, იზოტოქსალური
წესიერი მრავალკუთხედი ვიკისაწყობში

წესიერი მრავალკუთხედი — ამოზნექილი მრავალკუთხედი, რომელშიც მისი ყველა გვერდი და ყველა შიგა კუთხე ტოლია.

წესიერი მრავალკუთხედის განმარტება შეიძლება დამოკიდებული იყოს მრავალკუთხედის განმარტებაზე: თუ ის განისაზღვრება, როგორც ბრტყელი დახურული მრავალკუთხა ხაზი, მაშინ წესიერი ვარსკვლავისებრი მრავალკუთხედის განმარტება ჩნდება, როგორც არაამოზნექილი მრავალკუთხედი, რომელშიც ყველა გვერდი ერთმანეთის ტოლია და ერთმანეთთან შორის ყველა კუთხე ტოლია.

დაკავშირებული განსაზღვრებები

წესიერი მრავალკუთხედის ცენტრი მისი მასის ცენტრია, რომელიც ემთხვევა მისი ჩახაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრებს.

წესიერი მრავალკუთხედის ცენტრალური კუთხე მისი შემოხაზული წრის ცენტრალური კუთხეა, რომელიც მის გვერდს ეყრდნობა. წესიერი n-კუთხედის ცენტრალური კუთხის სიდიდე უდრის ${\frac {2\pi }{n}}$.

თვისებები

კოორდინატები

თუ $x_{C}$ და $y_{C}$ — ცენტრის კოორდინატებია, ხოლო $R$ — წესიერ მრავალკუთხედზე შემოწერილი წრის რადიუსი, ${\phi }_{0}$ — პირველი წვეროს კუთხური კოორდინატი ცენტრთან მიმართებაში, მაშინ წესიერი n-კუთედხის წვეროების დეკარტული კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

$x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)$,

$y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)$,

სადაც $i$ ღებულობს მნიშვნელობას $0$-დან $(n-1)$-მდე.

ზომები

R რადიუსის წრეში ჩახაზული და r რადიუსის წრეზე შემოხაზული წესიერი მრავალკუთხედი

თუ $R$ — წესიერ მრავალკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსია, მაშინ ჩახაზული წრეწირის რადიუსი ტოლი იქნება:

$r=R\cos {\frac {\pi }{n}}$,

მრავალკუთხედის გვერდი კი ტოლი იქნება:

$a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}$.

ფართობი

წესიერი $n$-კუთხედის ფართობი, რომლის გვერდია $a$, ტოლია:

$S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}$.

$R$ რადიუსის მქონე წრეწირში ჩაწერილი წესიერი $n$-კუთხედის ფართობი ტოლია:

$S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}$.

$r$ რადიუსის მქონე წრეწირზე შემოხაზული წესიერი $n$-კუთხედის ფართობი ტოლია:

$S=nr^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}$

წესიერი $n$-კუთხედის ფართობი ტოლია:

$S={\frac {nra}{2}}={\frac {1}{2}}Pr$,

სადაც $r$ — წრის რადიუსია, რომელზეც შემოხაზულია მრავალკუთხედი, $a$ — გვერდის სიგრძე, ხოლო $P$ — მისი პერიმეტრი.

წესიერი n–კუთხედის ფართობი. მასზე შემოხაზული და მასში ჩახაზული წრეწირების რადიუსები

n	ფართობი (a მრავალკუთხედის გვერდია), S	შემოხაზული წრეწირის რადიუსი, R	ჩახაზული წრეწირის რადიუსი, r
n-კუთხედი	${\tfrac {1}{4}}n{a}^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$	${\frac {a}{2}}\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)$	${\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$
3-კუთხედი	$a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$
4-კუთხედი	$a^{2}$	$a{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {a}{2}}$
5-კუთხედი	$a^{3}{\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{4}}$	$a{\frac {\sqrt {10(5+{\sqrt {5}})}}{10}}$	$a{\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{10}}$
6-კუთხედი	$3a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$a$	$a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$
8-კუთხედი	$2a^{2}(1+{\sqrt {2}})$	$a{\frac {\sqrt {2(2+{\sqrt {2}})}}{2}}$	$a{\frac {(1+{\sqrt {2}})}{2}}$
10-კუთხედი	$5a^{2}{\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}$	$a{\frac {(1+{\sqrt {5}})}{2}}$	$a{\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}$

მაგალითი

იმისათვის, რომ გამოვითვალოთ წრეში ჩახაზული წესიერი n-კუთხედის $a_{n}$ გვერდის სიგრძე, თუ ცნობილია წრეწირის სიგრძე $L$, მაშინ მრავალკუთხედის ერთი გვერდის სიგრძე ტოლი იქნება:

$a_{n}=\sin {\Big (}{\frac {\pi }{n}}{\Big )}\cdot {\frac {L}{\pi }}$.

პერიმეტრი $P_{n}$ ტოლია:

$P_{n}=a_{n}\cdot n$,

სადაც $n$ — მრავალკუთხედის გვერდების რიცხვია.

წესიერი მრავალკუთხედების დიაგოლათა თვისებები

წესიერი $n$კუთხედის დიაგონალების მაქსიმალური რაოდენობა, რომლებიც იკვეთებიან ერთ წერტილში და არ არის მისი წვერო ან ცენტრი, ტოლია:

$2$, თუ $n$ კენტია;

$3$, თუ $n$ ლუწია, მაგრამ არ იყოფა $6$-ზე;

$5$, თუ $n$ იყოფა $6$-ზე, მაგრამ არ იყოფა $30$-ზე;

$7$, თუ $n$ იყოფა $30$-ზე.

არსებობს მხოლოდ სამი გამონაკლისი: მოცემული რიცხვი ტოლია $0$-ის სამკუთხედში, $2$ ექვსკუთხედში და $4$ თორმეტკუთხედში.

ლუწი $n$ რიცხვის შემთხვევაში მრავალკუთხედის ცენტრში იკვეთება $n/2$ ცალი დიაგონალი. ფუნქცია $\delta _{m}(n)$, უდრის $1$-ს იმ შემთხვევაში თუ $n$ იყოფა $m$-ზე, ხოლო თუ არა მაშინ — $0$-ს. მაშინ წესიერი $n$-კუთხედის დიაგონალების კვეთის წერტილები ტოლი იქნება:

${\begin{array}{l}C_{n}^{4}+\left(-5n^{3}+45n^{2}-70n+24\right)/24\cdot \delta _{2}(n)-(3n/2)\cdot \delta _{4}(n)+\\+\left(-45n^{2}+262n\right)/6\cdot \delta _{6}(n)+42n\cdot \delta _{12}(n)+60n\cdot \delta _{18}(n)+\\+35n\cdot \delta _{24}(n)-38n\cdot \delta _{30}(n)-82n\cdot \delta _{42}(n)-330n\cdot \delta _{60}(n)-\\-144n\cdot \delta _{84}(n)-96n\cdot \delta _{90}(n)-144n\cdot \delta _{120}(n)-96n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}$,

სადაც $C_{n}^{4}$ — თანხვედის რიცხვია $n$-დან $4$-მდე.

ნაწილების რაოდენობა, რომელზეც დიაგონალები ყოფენ წესიერ $n$-კუთხედს, ტოლია:

${\begin{array}{l}\left(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24\right)/24+\\+\left(-5n^{3}+42n^{2}-40n-48\right)/48\cdot \delta _{2}(n)-(3n/4)\cdot \delta _{4}(n)+\\+\left(-53n^{2}+310n\right)/12\cdot \delta _{6}(n)+(49n/2)\cdot \delta _{12}(n)+32n\cdot \delta _{18}(n)+\\+19n\cdot \delta _{24}(n)-36n\cdot \delta _{30}(n)-50n\cdot \delta _{42}(n)-190n\cdot \delta _{60}(n)-\\-78n\cdot \delta _{84}(n)-48n\cdot \delta _{90}(n)-78n\cdot \delta _{120}(n)-48n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}$.

გამოყენება

წესიერი მრავალკუთხედები, განმარტების თანახმად, წესიერი მრავალწახნაგების გვერდებია.

ძველი ბერძენი მათემატიკოსები (ანტიფონტი, ჰერაკლეელი ბრაისონი, არქიმედე და ა.შ.) წესიერ მრავალკუთხედებს იყენებდნენ π რიცხვის გამოსათვლელად. ისინი ითვლიდნენ წრეში ჩახაზული და მის გარშემო შემოხაზული მრავალკუთხედების ფართობებს, თანდათან ზრდიდნენ მათი გვერდების რაოდენობას და ამით იღებდნენ წრის ფართობის შეფასებას.

ისტორია

წესიერი n-კუთხედის აგება ფარგლისა და სახაზავის გამოყენებით მათემატიკოსებისთვის XIX საუკუნემდე პრობლემად რჩებოდა. ასეთი კონსტრუქცია იდენტურია წრის n თანაბარ ნაწილად დაყოფისა, რადგან წრის ნაწილებად გამყოფი წერტილების შეერთებით შესაძლებელია სასურველი მრავალკუთხედის მიღება.

ევკლიდე თავის „ელემენტებში“ მეოთხე წიგნში რეგულარული მრავალკუთხედების აგებას განიხილავდა და წყვეტდა ამოცანას $n=3,4,5,6,15$-ისთვის. გარდა ამისა, მას უკვე განსაზღვრული ჰქონდა მრავალკუთხედების აგებადობის პირველი კრიტერიუმი: მიუხედავად იმისა, რომ ეს კრიტერიუმი „დასაწყისში“ არ იყო გაჟღერებული, ძველი ბერძენი მათემატიკოსები შეძლეს მრავალკუთხედის აგება $2^{m}$ გვერდებით (მრგვალი რიცხვის $m>1$ არსებობისას), არსებული მრავალკუთხედი, გვერდების რაოდენობით $2^{m-1}$: რკალის ორ ნაწილად გაყოფის შესაძლებლობის გამოყენებით, ორი ნახევარწრისგან ჩვენ ვაშენებთ კვადრატს, შემდეგ წესიერ რვაკუთხედს, წესიერ თექსვმეტკუთხედს და ა.შ. გარდა ამისა, იმავე წიგნში, ევკლიდე ასევე მიუთითებს აგებადობის მეორე კრიტერიუმზე: თუ ცნობილია, თუ როგორ უნდა ავაგოთ მრავალკუთხედები $r$ და $s$ გვერდებით, და $r$ და $s$ ურთიერთ მარტივი რიცხვებია, მაშინ შესაძლებელია მრავალკუთხედის აგება $r\cdot s$ გვერდებით. ეს მიიღწევა $s$ გვერდიანი მრავალკუთხედისა და $r$ გვერდებით მრავალკუთხედის აგებით ისე, რომ ისინი ერთ წრეში იყონ ჩახაზული და მათ მინიმუმ ერთი საერთო წვერო ჰქონდეთ - ამ შემთხვევაში, ამ მრავალკუთხედების ორი კუთხე იქნება $rs$-კუთხედის მეზობელი. ამ ორი მეთოდის სინთეზირებით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ძველი მათემატიკოსები შეძლებდნენ წესიერი მრავალკუთხედების აგებას $2^{m}\cdot 3$, $2^{m}\cdot 5$ и $2^{m}\cdot 3\cdot 5$ გვერდებით, ნებისმიერი მთელი დადებითი $m$ რიცხვის შემთხვევაში.

ფრიც შაპერის მიერ შესრულებული 17-ქიმიანი ვარსკვლავი, გაუსის ძეგლზე ბრაუნშვეიგში

თანამედროვე მათემატიკა თითქმის არ დაძრულა აღნიშნული წერტილიდან. მხოლოდ 1796 წელს კარლ ფრიდრიხ გაუსმა შესძლო დაემტკიცებინა, რომ თუ წესიერი მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა უდრის უბრალო ფერმას რიცხვს, მაშინ მისი აგება შესაძლებელია ფარგლით და სახაზავით. დღესდღეობით ცნობილია მხოლოდ 5 მარტივი ფერმას რიცხვი: $3,5,17,257,65537$. მსგავსი რიცხვების არსებობა-არარსებობის საკითხი დღემდე ღიად რჩება. გაუსი იყო პირველი, რომელმაც შესძლო დაემტკიცებინა წესიერი 17-კუთხედის აგების შესაძლებლობა, რომლის დატანაც მოითხოვა მან მის საფლავზე ანდერძის თანახმად.

გაუსის შედეგიდან გამომდინარეობს, რომ წესიერი მრავალკუთხედის აგება შესაძლებელია ფარგლიტა და სახაზავით, თუკი გვერდების რაოდენობა უდრის $2^{k}{p_{1}}{p_{2}}\cdots {p_{s}}$, სადაც ${k}$ — მთელი დადებითი რციხვია, ხოლო ${p_{j}}$ — წყვილად განსხვავებული მარტივი ფერმას რიცხვები. გაუსი ფიქრობდა, რომ აღნიშნული პირობა არათუ საკმარისი, არამედ აუცილებელიც იყო, რაც პირველად იქნა დამტკიცებული პიერ ვანცელის მიერ 1836 წელს. საერთო თეორემა, რომელიც მოიცავდა ორივე პირობას ეწოდება გაუსი-ვანცელის თეორემა.

უკანასკნელი წარმატებული მცდელობები წესიერი მრავალკუთხედის აგებისა წარმოადგენს 17-, 257- და 65537-კუთხედებს. აქედან პირველი მოძიებულ იქნა იოჰანეს ერხინგერის მიერ 1825 წელს, მეორე — ფრიდრიხ იულიუს რიშელოს მიერ 1832 წელს, ბოლო — იოჰან გუსტავ გერმესის მიერ 1894 წელს.

რესურსები ინტერნეტში

• Regular Polygon description With interactive animation
• Incircle of a Regular Polygon With interactive animation
• Area of a Regular Polygon Three different formulae, with interactive animation
• Renaissance artists' constructions of regular polygons დაარქივებული 2006-02-12 საიტზე Wayback Machine. at Convergence დაარქივებული 2006-02-12 საიტზე Wayback Machine.