ფიგურული რიცხვები

ფიგურული რიცხვები — რიცხვები, რომელთა წარმოდგენა შესაძლებელია გეომეტრიული ფიგურების გამოყენებით. ეს ისტორიული კონცეფცია პითაგორელებს უკავშირდება, რომლებმაც ალგებრა გეომეტრიის საფუძველზე განავითარეს და ნებისმიერ დადებით მთელ რიცხვ სიბრტყეზე წერტილების სიმრავლის სახით წარმოადგენდნენ. ამ მიდგომის შედეგად დამკვიდრდა ისეთი გამოთქმები, როგორიცაა რიცხვის „კვადრატში“ ან „კუბში“ ახარისხება.

კენტი რიცხვების მიმდევრობის ჯამი კვადრატული რიცხვია.

ტრადიციულად, ფიგურული რიცხვების ორ ძირითად კლასს განასხვავებენ: ბრტყელ მრავალკუთხა და სივრცით მრავალწახნაგა რიცხვებს

ბრტყელი მრავალკუთხა რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც დაკავშირებულია კონკრეტულ მრავალკუთხედთან. ისინი იყოფა კლასიკურ და ცენტრირებულებად;

სივრცითი მრავალწახნაგოვანი რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც დაკავშირებულია კონკრეტულ მრავალწახნაგთან. თავის მხრივ, ფიგურული რიცხვების თითოეული კლასი იყოფა ქვესიმრავლეებად, რომელთაგან თითოეული დაკავშირებულია კონკრეტულ გეომეტრიულ ფიგურასთან (სამკუთხედი, კვადრატი, ტეტრაედრი და ა. შ.).

ასევე არსებობს ფიგურული რიცხვების განზოგადება მრავალგანზომილებიან სივრცეებზე. უძველეს დროში, როდესაც არითმეტიკა არ იყო გამოყოფილი გეომეტრიისგან, განიხილებოდა ფიგურული რიცხვების რამდენიმე სხვა ტიპი, რომლებიც ამჟამად არ გამოიყენება.

რიცხვთა თეორიასა და კომბინატორიკაში ფიგურული რიცხვები დაკავშირებულია მთელი რიცხვების მრავალ სხვა კლასთან — ბინომიალურ კოეფიციენტებთან, სრულყოფილ რიცხვებთან, მერსენის რიცხვებთან, ფერმას რიცხვებთან, ფიბონაჩის რიცხვებთან, ლუკასის რიცხვებთან და სხვა.

კლასიკური მრავალკუთხა რიცხვები

სიცხადისთვის, ამ ნაწილში, კლასიკური მრავალკუთხა რიცხვები უბრალოდ „მრავალკუთხა რიცხვებად“ არის მოხსენიებული.

გეომეტრიული განმარტება

შვიდკუთხა რიცხვების გეომეტრიული კონსტრუქცია

მრავალკუთხა რიცხვები არის მიმდევრობა, რომელიც მიუთითებს წესების მიხედვით აგებული წერტილების რაოდენობაზე, რასაც შვიდკუთხედის ილუსტრირებით განვიხილავთ. შვიდკუთხა რიცხვების მიმდევრობა იწყება 1-ით (საბაზისო წერტილი), შემდეგ კი 7-ით, რადგან 7 წერტილი ქმნის წესიერ შვიდკუთხედს, მიემატა 6 წერტილი. მესამე რიცხვი შეესაბამება შვიდკუთხედს, რომლის გვერდებიც ახლა არა ორ, არამედ სამ წერტილს შეიცავს და წინა ეტაპებზე აგებული ყველა წერტილიც შედის. ნახაზიდან ნათლად ჩანს, რომ მესამე ფიგურა შეიცავს 18 წერტილს; დანამატი (პითაგორამ მას „გნომონი“ უწოდა) 11 წერტილია. ადვილი შესამჩნევია, რომ დანამატები ქმნის არითმეტიკულ პროგრესიას, რომელშიც თითოეული წევრი 5-ით მეტია წინაზე.

ზოგადად k კუთხედზე გადასვლისას, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ თითოეულ ეტაპზე, ფიგურული რიცხვის შესაბამისი წერტილების რაოდენობა იზრდება როგორც არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი, რომლის პირველი წევრია 1, სხვაობა კი – k−2.

ალგებრული განმარტება

ზემოთ წარმოდგენილი გეომეტრიული წარმოდგენებიდან გამომდინარეობს k-კუთხოვანი რიცხვის ზოგადი განმარტება ნებისმიერი k-ისთვის, როცა k⩾3 და მისი ფორმულირება შემდეგნაირად შეიძლება:

n-ური k-კუთხოვანი რიცხვი $P_{n}^{(k)}$ არის ისეთი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრთა ჯამი, რომლის პირველი წევრია 1 და სხვაობა k−2.

კლასიკური მრავალკუთხა რიცხვების ნაირსახეობები

სამკუთხა რიცხვები

სამკუთხა რიცხვების მიმდევრობა

სამკუთხა რიცხვების თანმიმდევრობა:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210 …, ${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$ …

კვადრატული რიცხვები

კვადრატული რიცხვები ორი იდენტური ნატურალური რიცხვის ნამრავლია, ანუ ისინი სრული კვადრატებია: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, …, $n^{2}$

თითოეული კვადრატული რიცხვი, 1-იანის გარდა, წარმოადგენს ორი, ერთმანეთის მომდევნო სამკუთხა რიცხვის ჯამს.

$0+\color {blue}1\color {black}=1$	$1+\color {blue}3\color {black}=4$	$4+\color {blue}5\color {black}=9$	$9+\color {blue}7\color {black}=16$

ხუთკუთხა რიცხვები

პირველი ხუთკუთხა რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590 …, ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ …

ექვსკუთხა რიცხვები

პირველი 4 ექვსკუთხა რიცხვი

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780 …, $2n^{2}-n$ …