სფერული ტრიგონომეტრია

სფერული სამკუთხედი. მიიღება სამი დიდი წრის რკალით, რომლებიც სფეროზე წყვილ-წყვილად აერთებენ რომელიმე სამ წერტილს

სფერული ტრიგონომეტრია — სფერული სამკუთხედის ტრიგონომეტრია, ანუ მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის დამოკიდებულებას სფერული სამკუთხედის გვერდებსა (მათ სიგრძეებსა) და კუთხეებს (მათ სიდიდეებს) შორის.

ვთქვათ, $A,B,C$ კუთხეებია, ხოლო $a,b,c$ — მათ პირდაპირ მდებარე გვერდები $ABC$ სფერული სამკუთხედისა. კუთხეები და გვერდები დაკავშირებულია შემდეგი ძირითადი ფორმულებით:

${\frac {\sin {a}}{\sin {A}}}={\frac {\sin {b}}{\sin {B}}}={\frac {\sin {c}}{\sin {C}}}$, (1)

$\cos {a}=\cos {b}\cos {c}+\sin {b}\sin {c}\cos {A}$, (2)

$\cos {A}=-\cos {B}\cos {C}+\sin {B}\sin {C}\cos {a}$, (3)

$\sin {a}\cos {B}=\cos {b}\sin {c}-\sin {b}\cos {c}\cos {A}$, (4)

$\sin {A}\cos {b}=\cos {B}\sin {C}+\sin {B}\cos {C}\cos {a}$, (5)

$\sin {a}\operatorname {ctg} {b}=\sin {C}\operatorname {ctg} {B}+\cos {a}\cos {C}$, (6)

$\sin {a}\operatorname {ctg} {c}=\sin {B}\operatorname {ctg} {C}+\cos {a}\cos {B}$. (7)

ამ ფორმულებში $a,b,c$ გვერდები იზომება შესაბამისი ცენტრალური კუთხეებით. ამ გვერდების სიგრძეები უდრის შესაბამისად $aR,bR,cR$, სადაც $R$ სფეროს რადიუსია. თუ კუთხეებისა და გვერდების აღნიშვნებს შევცვლით წრიული გადანაცვლების წესის მიხედვით $[A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A(a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a)]$, მაშინ შეიძლება დავწეროთ სფერული ტრიგონომეტრიის სხვა ანალოგიური ფორმულებიც. სფერული ტრიგონომეტრიის ფორმულებით შესაძლებელია სფერული სამკუთხედის ნებისმიერი სამი ელემენტის მიხედვით განვსაზღვროთ სამი დანარჩენი ელემენტი (სამკუთხედის ამოხსნა).

მართკუთხა სფერული სამკუთხედებისათვის სფერული ტრიგონომეტრიის ფორმულები მარტივდება. ამოცანების ამოხსნის დროს მოსახერხებელია დალამბერის ფორმულები, რომლებიც აკავშირებენ სფერული სამკუთხედის ექვსივე ელემენტს:

$\sin {{\frac {1}{2}}a}\cos {{\frac {1}{2}}(B-C)}=\sin {{\frac {1}{2}}A}\sin {{\frac {1}{2}}(b+c)}$,

$\sin {{\frac {1}{2}}a}\sin {{\frac {1}{2}}(B-C)}=\cos {{\frac {1}{2}}A}\sin {{\frac {1}{2}}(b-c)}$,

$\cos {{\frac {1}{2}}a}\cos {{\frac {1}{2}}(B+C)}=\sin {{\frac {1}{2}}A}\cos {{\frac {1}{2}}(b+c)}$,

$\cos {{\frac {1}{2}}a}\sin {{\frac {1}{2}}(B+C)}=\cos {{\frac {1}{2}}A}\cos {{\frac {1}{2}}(b-c)}$.

გარდა ამ ფორმულებისა, ცნობილია ჰ. ბრიგსის და ჯ. ნეპერის შემდეგი ფორმულები:

$\operatorname {tg} {\frac {A-B}{2}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {a+b}{2}}}}\operatorname {ctg} {\frac {c}{2}}$ და $\operatorname {tg} {\frac {A+B}{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}\operatorname {ctg} {\frac {c}{2}}$, (ჰ. ბრიგსი),

$\operatorname {tg} {\frac {a-b}{2}}={\frac {\sin {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {A+B}{2}}}}\operatorname {tg} {\frac {c}{2}}$ და $\operatorname {tg} {\frac {a+b}{2}}={\frac {\cos {\frac {A-B}{2}}}{\cos {\frac {A+B}{2}}}}\operatorname {tg} {\frac {c}{2}}$, (ჯ. ნეპერი).

სფერული ტრიგონომეტრია წარმოიქმნა ასტრონომიასთან დაკავშირებით, გაცილებით უფრო ადრე, ვიდრე ბრტყელი ტრიგონომეტრია. სფერული სამკუთხედის თვისებები და მათი ამოხსნის სხვადასხვა შემთხვევა ცნობილი იყო ჯერ კიდევ ბერძენი მათემატიკოსებისათვის (მენელაე, პტოლემე). სფერული ტრიგონომეტრიის ძირითადი თეორემები აღმოაჩინეს შუა საუკუნეების აღმოსავლეთის მეცნიერებმა ალ-ბათანიმ (IX ს), იბნ არაკმა ხორეზმიდან (X ს), აბუ ლ-ვაფამ ხორეზმიდან (X ს) და ალ-ხოჯანიმ (Абу Махмуд аль-ХуджандиX ს). სფერული ტრიგონომეტრიის სისტემა პირველად ჩამოაყალიბა ნასირ ალ-დინ ტუსიმ (XIII ს); მან პირველად განაცალკევა ტრიგონომეტრია, როგორც მეცნიერება ასტრონომიისაგან, რომელიც შემდგომში განავითარეს რეგიომონტანუსმა, ფ. ვიეტამ, ლ. ეილერმა და სხვებმა.

ლიტერატურა

• ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 9, თბ., 1985. — გვ. 619.

რესურსები ინტერნეტში

• სფერული ტრიგონომეტრია — nplg.gov.ge