კატეგორიათა თეორია

კატეგორიათა თეორია არის მათემატიკის დარგი რომელიც მათემატიკურ სტრუქტურებს და მათ შორის კავშირებს განიხილავს და სწავლობს გარკვეული აბსტრაქტული (კატეგორიული) მეთოდების გამოყენებით. კატეგორიის ცნება მათემატიკურ სტატიებში გაჩდა 1942 წლიდან, ძირითადად სამუელ აილენბერგისა (Samuel Eilenberg, 1913.09.30 – 1998.01.30) და სონდერს მაკ-ლეინის (Saunders Mac Lane, 1909.08.04 – 2005.04.14) სტატიებში ალგებრული ტოპოლოგიისათვის, რათა ერთი მათემატიკური სტრუქტურა, ტოპოლოგიური დაკავშირებულიყო მეორე მათემატიკურ სტრუქტურას, ალგებრულს. ჰომოლოგია და კოჰომოლოგია იყო პირველი ფუნქტორიც.

კატეგორიათა თეორიის საბაზისო ცნებებია: კატეგორია, ფუნქტორი, ბუნებრივი გარდაქმნა, შეუღლება და ა.შ. ისინი გვხვდება მათემატიკის უმრავლეს და თეორიული კომპიუტერული მეცნიერების ზოგიერთ დარგში.

კატეგორიათა თეორიის მეთოდები და აბსტრაქტული კატეგორიული თეორიები გამოიყენება მათემატიკის სხვადასხვა ნაწილებში. იგი ერთი მხრივ იარაღია სხვადასხვა მათემატიკური სტრუქტურების შესასწავლად და მეორე მხრივ იძლევა განსხვავებული მათემატიკური თეორიების აბსტრაქტულ დონეზე გაერთიანების საშუალებას. კატეგორიული ენის გამოყენებით ასევე ხორციელდება ბევრი მათემატიკური თეორიის უფრო მარტივად და ერთიანად ჩამოყალიბება.

საქართველოში კატეგორიათა თეორიის განვითარების ინიციატორები იყვნენ გურამ ბერიშვილი და ხვედრი ინასარიძე. ამჟამად გოგი ჯანელიძე არის ამ დარგის ერთ-ერთი ლიდერი.

კატეგორია არის რაღაც, რომელშიც არჩევენ ობიექტებს და ყოველ ორ ობიექტთან, ვთქვათ X და Y დაკავშირებულ სიმრავლეს, Mor(X, Y) რომლის ელემენტებსაც უწოდებენ მორფიზმებს წესებით:

- თუ f ∈ Mor(X, Y) და g ∈ Mor(Y, Z), მაშინ არსებობს ერთადერთი მორფიზმი Mor(X, Z)-ში, რომელიც იწოდება f-სა და g-ს კომპოზიციად აღინიშნება g ∘ f ან f ∘ g (გააჩნია გემოვნებას)

- კომპოზიცია როგორც ოპერაცია ასოციურია, ანუ h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f

მაგალითი

სიმრავლეები როგორც ობიექტები და მათი ერთმანეთში ასახვები როგორც მორფიზმები ჰქმნიან კატეგორიას, სიმრავლეთა კატეგორიას.

მაგალითი

ჯგუფები როგორც ობიექტები და ჰომომორფიზმები როგორც მორფიზმები ჰქმნიან კატეგორიას, ჯგუფთა კატეგორიას. თუ მხოლოდ კომუტატური ჯგუუფებით შემოვიფარგლებით მივიღებთ აბელის ჯგუფთა კატეგორიას. ეს უკანასკნელი წინას ქვეკატეგორია იქნება.

მაგალითი

თუ ობიექტებად მივიჩნევთ ტოპოლოგიურ სივრცეებს, ხოლო მორფიზმებად უწყვეტ ასახვებს მივიღებთ კატეგორიას, ტოპოლოგიურ სივრცეთა კატეგორიას.

მაგალითი

თუ ავიღებთ რაიმე ველის მიმართ წრფივ სივრცეებს ობიექტებად, ხოლო მორფიზმებად წრფივ ასახვებს გვექნება კატეგორია, აღებული ველის მიმართ წრფივ სივრცეთა კატეგორია. მისი ქვეკატეგორია იქნება თუ შევიზღუდებით სასრული განზომილების წრფივი სივრცეებით.

ფუნქტორი და ბუნებრივი გარდაქმნა

თუ მოცემულია ორი კატეგორია A და B. ვიტყვით რომ მოცემულია ფუნქტორი f კატეგორია A-დან კატეგორია B-ში თუ A-ს ყოველი ობიექტისათვის X მოცემულია ობიექტი B-დან fX, A-ს ყოველი მორფიზმისათვის m: X → Y მოცემულია მორფიზმი B-დან fm: fX → fY, ისეთი რომ f(m ∘ n) = fm ∘ fn.

თუ კატეგორიის ყოველი ობექტისათვის მოცემულია მორფიზმი ამ ობიექტის ორი ფუნქტორით მიღებულ ობიექტებს შორის tX: fX → gX ისეთი რომ ყოველი მორფიზმისათვის, m: X → Y, გვექნება ტოლობა gm ∘ tX = tY ∘ fm ვიტყვით: გვაქვს ბუნებრივი გარდაქმნა t ფუნქტორი f-დან ფუნქტორ g-ში.

იხილეთ აგრეთვე

• ზღვარი (კატეგორიათა თეორია)
• ტოპოსების თეორია

ლიტერატურა

• Mac Lane, Saunders (1998) Categories for the Working Mathematician. 2nd ed. (Graduate Texts in Mathematics 5). Springer-Verlag.
• Leinster, Tom (2004) Higher operads, higher categories (London Math. Society Lecture Note Series 298). Cambridge Univ. Press.
• Michael Barr, Charles Wells, Toposes, Triples and Theories, Springer, 1985. ონლაინ ვერსია http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html.
• Boceux F, Janelidze G. Galois theories. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, no. 72, Cambridge University Press, 2001, xiv+341 pp., 0 521 80309 8.