წრფივი ალგებრა

სამ განზომილებიანი ევკლიდური სივრცე

წრფივი ალგებრა — მათემატიკის, უფრო ვიწროდ კი ალგებრის დარგი რომელიც შეისწავლის ვექტორებს, ვექტორულ სივრცეებს (სხვანაირად წრფივი სივრცე), წრფივ გარდაქმნებს და მსგავს მათემატიკურ სტრუქტურებს. წრფივი გარდაქმნა განსაკუთრებული ასახვაა, რომელიც ინახავს წრფივი სივრცის ოპერაციებს. წრფივი ალგებრა თანამედროვე მათემატიკის მნიშვნელოვანი დარგია. ის გამოიყენება წრფივი განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად, აბსტრაქტულ ალგებრასა და ფუნქციურ ანალიზში. წრფივი ალგებრის სტრუქტურების წარმოსახვაში ანალიტიკური გეომეტრია გვეხმარება. ის ფართოდ გამოიყენება ინჟინერიაში, ფიზიკასა და სხვადასხვა მეცნიერებებში.

ძირითადი სტრუქტურები

წრფივი სივრცე

წრფივი სივრცე S ველი V-ს მიმართ შედგება სიმრავლისგან, რომელზეც განსაზღვრულია შეკრება და V-ს ელემენტზე გამრავლება. ეს ოპერაციები აკმაყოფილებს პირობებს

• თუ x, y და z არის S-ის ელემენტები, ხოლო v კი V-ს ელემენტი მაშინ:

1. x + y = y + x (შეკრების გადანაცვლებადობა)
2. (x + y) + z = x + (y + z) (შეკრების ჯუფთებადობა)
3. S-ში არსებობს ელემენტი 0 ისეთი, რომ S-ის ნებისმიერი ელემენტი x-სათვის სამართლიანია ტოლობა x + 0 = x
4. S-ის ნებისმიერი ელემენტი x-სათვის არსებობს S-ის ელემენტი y, რომლისთვისაც x + y = 0
5. თუ x V-ს ელემენტია, მაშინ 1x=x;
6. თუ a და b F-ის ელემენტებია, x კი — V-ს ელემენტი, მაშინ (ab)x=a(bx);
7. თუ a F-ის ელემენტია, x და y კი — V-ს ელემენტი, მაშინ a(x+y)=ax+ay;
8. თუ a და b F-ის ელემენტებია, x კი —V-ს ელემენტი, მაშინ (a+b)x=ax+bx.

(x+y)-ს ეწოდება x-ისა და y-ის ჯამი, ax-ს კი — a-სა და x-ის ნამრავლი.

ვექტორული სივრცის ელემენტებს ვექტორები ეწოდება, ველის ელემენტებს კი — სკალარები. ამ სტატიაში ვექტორები კურსივით გამოისახება, სკალარები — არა (მაგალითად, 0 ვექტორია, 0 კი — სკალარი). ვექტორული სივრცის მე-3 თვისებიდან (ზემოთ) პირდაპირ გამომდინარეობს, რომ ვექტორული სივრცე არასდროს არ შედგება ცარიელი სიმრავლისგან. ელემენტარულად მტკიცდება, რომ მე-3 თვისებაში აღწერილი ვექტორი 0 უნიკალურია. აგრეთვე მარტივი დასანახია, რომ მე-4 თვისებაში აღწერილი ვექტორი y უნიკალურია. დამატებით შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ V-ს ნებისმიერი ელემენტისთვის x, 0x=0 და F-ის ნებისმიერი ელემენტისთვის a, a0=0.

წრფივი გარდაქმნა

ფუნქციას T ვექტორული სივრციდან V ვექტორულ სივრცეზე W ეწოდება წრფივი გარდაქმნა, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგს:

1. V-ს ვექტორებისთვის x და y, T(x+y)=T(x)+T(y);
2. ველის სკალარისთვის a და V-ს ვექტორისთვის x, T(ax)=a T(x).

წრფივი გარდაქმნა ყოველთვის შეგვიძლია წარმოვადგინოთ მატრიცის სახით, რაც აბსტრაქტულ ფუნქციებთან მუშაობას ამარტივებს.

ლიტერატურა

• Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra" ([1]), American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
• Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.