ირაციონალური რიცხვი

რიცხვი $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ ირაციონალურია.

ირაციონალური რიცხვი — მათემატიკაში ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვია, რომელიც არ არის რაციონალური რიცხვი, ანუ რომლის წარმოდგენა არ შეიძლება ${\frac {m}{n}}$ წილადის სახით, სადაც $m\,\!$ მთელი რიცხვია, ხოლო $n\,\!$ — ნატურალური.

უსასრულო არაპერიოდულ ათწილადს ირაციონალური რიცხვი ეწოდება. ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე I ასოთი აღინიშნება.

რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვთა გაერთიანებას ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ეწოდება და R ასოთი აღინიშნება.

ზოგიერთი სიდიდის გასაზომად საკმარისი არ არის რაციონალური რიცხვები. კერძოდ, არსებობენ მონაკვეთები, რომელთა სიგრძე რაციონალური რიცხვით არ გამოისახება. ასეთია მაგალითად, იმ კვადრატის გვერდი, რომლის ფართობი 2 კვადრატული ერთეულის ტოლია. მართლაც, თუ კვადრატის გვერდის სიგრძე რაციონალური რიცხვით გამოისახება, მაშინ იგი წარმოიდგინება p/q უკვეცი წილადის სახით და მართობულია ტოლობა (p/q)²=2.

აქედან p²=2q², ამიტომ p² ლუწი რიცხვია, მაშასადამე ლუწი იქნება p-ც(რადგან ^{კენტი რიცხვი}ს კვადრატი ყოველთვის კენტია), ე.ი. p=2k სადაც k ϵ N და p²=2q² ტოლობიდან მიიღება,

4k2=2q2 ⇒ q2=2k2

ე.ი. q² ლუწი რიცხვია და ასევე ლუწი იქნება q-ც.

მიიღება, რომ p და q ლუწი რიცხვებია, ეს კი ეწინააღმდეგება დაშვებას, რომ p/q უკვეცი წილადია.

ამრგიგად, აღნიშნული კვადრატის გვერდის სიგრძის გამოსახვა რაციონალური რიცხვით შეუძლებელია.

ამრიგად ირკვევა, რომ არ არსებობს რაციონალური რიცხვი რომლის კვადრატი 2, 3, 5, 6 … რიცხვების ტოლია. ასეთი რიცხვები მიეკუთვნებიან ე.წ. ირაციონალური რიცხვების ჯგუფს.

N, Z0, Z, Q და R რიცხვთა შორის არსებობს შემდეგი დამოკიდებულება:

N ⊃ Z0 ⊃ Z ⊃ Q ⊃ R

რაც ე.წ. ეილერის წრეების მეშვეობით შემდეგნაირად გამოისახება:

დალაგების თვისებები:

1. 1.ნებისმიერი ორი a და b ნამდვილი რიცხვისათვის სრულდება ერთი და მხოლოდ ერთი შედეგი თანაფარდობიდან: a=b a>b a<b
2. 2.თუ a<b, მოიძებნება ისეთი c რიცხვი, რომ a<c<b.

შეკრების თვისებები:

1. 1.a+b=b+a (შეკრების კომუტაციურობა)
2. 2.(a+b)+c=a+(b+c) (შეკრების ასოციაციურობა)
3. 3.a+0=a
4. 4.a+(-a)=0 (a და -a მოპირდაპირე რიცხვებია)
5. 5.თუ a=b, მაშინ a+c=b+c, სადაც c ნებისმიერი რიცხვია

გამრავლების თვისებები

1. 1.ab=ba (გამრავლების კომუტაციურობა)
2. 2.(ab)c=a(bc) (გამრავლების ასოციაციურობა)
3. 3.a*1=a
4. 4.a*0=0
5. 5.თუ a=b, მაშინ ac=bc
6. 6.a*1/a=1 (a≠0),(a და 1/a ურთიერთშებრუნებული რიცხვებია)
7. 7.(a+b)c=ac+bc (შეკრების დისტრიბუციოლობა გამრავლების მიმართ).