საშუალო კვადრატული

მათემატიკაში და ფიზიკაში საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა არის ცვალებადი სიდიდის სტატისტიკური მახასიათებელი. ეს ცნება განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ისეთი ცვლადი სიდიდეების დასახასითებლად, რომელთა მნიშნელობა შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაგალითად სინუსოიდალური რხევისთვის.

განმარტება

რაიმე დისკრეტული სიდიდის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა განიმარტება როგორც კვადრატული ფესვი ამ მნიშვნელობების კვადრატების საშუალო არითმეტიკულიდან. $n$ მნიშვნელობისათვის $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$, საშუალო კვადრატული არის:

$x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}} \over n}}.$

ანალოგიურ ფორმულას უწყვეტი ფუნქციისთვის $f(t)$ რომელიც განსაზღვრულია რაიმე $T_{1}\leq t\leq T_{2}$ შუალედში არის

$f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}},$

ხოლო უსასრულო ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქციის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა არის

$f_{\mathrm {rms} }=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.$

ტიპიური ფუნქციების საშუალო კვადრატული

ფუნქცია	განტოლება	საშუალო კვადრატული
სინუსოიდალური ტალღა	$y=a\sin(2\pi ft)\,$	${\frac {a}{\sqrt {2}}}$

გამოყენება

რაიმე ცვლადი სიდიდის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა ხშირად გამოიყენება ფიზიკაში.

საშუალო ელექტრული სიმძლავრე

სიმძლავრე $P$, რომელიც გამოიყოფა რაიმე $R$წინაღობაზე მარტივად გამოითვლება თუ დენის ძალა $I$ მუდმივია. ასეთ შემთხვევაში

$P=I^{2}R.\,\!$

თუ დენი დროში ცვლადი ფუნქციაა $I(t)$, მაშინ ეს ფორმულა განზოგადებას საჭიროებს. თუ დენი დროის პერიოდული ფუნქციაა მაშინ საშუალო სიმძლავრე გამოითვლება ფორმულით

$P_{\mathrm {avg} }\,\!$	$=\langle I(t)^{2}R\rangle \,\!$ (სადაც $\langle \ldots \rangle$ აღნიშნავს ფუნქციის საშუალოს)
	$=R\langle I(t)^{2}\rangle \,\!$ (R მუდმივია დროში)
	$=(I_{\mathrm {RMS} })^{2}R\,\!$ (საშუალო კვადრატულის განსაზღვრებიდან)

ასე რომ საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა $I_{\mathrm {RMS} }$ რაიმე $I(t)$ დენისა არის მუდმივი დენის ის მნიშვნელობა, რომელსაც იგივე საშუალო სიმძლავრე აქვს.

ტიპიურ შემთხვევაში, როდესაც დენი არის სინუსოიდალური ფუნქცია, საშუალო სიმძლავრე მარტივად გამოითვლება ზემოთ მოყვანილი განტოლებებიდან. გვაქვს

$I_{\mathrm {RMS} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{(I_{\mathrm {p} }\sin(\omega t)}\,})^{2}dt}}.\,\!$

სადაც t არის დრო, ხოლო ω არის კუთხური სიხშირე (ω = 2π/T, სადაც T არის ტალღის პერიოდი).

ვინაიდან $I_{\mathrm {p} }$ არის დადებითი მუდმივი სიდიდე:

$I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.$

ტრიგონომეტრიული იგივობების გამოყენებით მივიღებთ:

$I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}$

$I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}$

მაგრამ ვინაიდან ინტეგრების ინტერვალი მოიცავს რხევის ციკლების მთელ რაოდენობას $\sin$ შემცველი წევრები გაბათილდება და გვექნება:

$I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\mathrm {p} } \over {\sqrt {2}}}.$

Root mean square velocity

In physics, the root mean square velocity is defined as the square root of the average velocity-squared of the molecules in a gas. The RMS velocity of an ideal gas is calculated using the following equation:

${v_{\mathrm {RMS} }}={\sqrt {3RT \over {M}}}$

where $R$ represents the Ideal Gas Constant (in this case, 8.314 J/(mol·K)), $T$ is the temperature of the gas in kelvins, and $M$ is the molar mass of the gas in kilograms. Note that the unit of mass is in kilograms.

Relationship to the arithmetic mean and the standard deviation

If ${\bar {x}}$ is the arithmetic mean and $\sigma _{x}$ is the standard deviation of a population (the equation is different when $\sigma _{x}$ is for a sample) then:

${x_{\mathrm {rms} }}^{2}={\bar {x}}^{2}+{\sigma _{x}}^{2}.$

From this it is clear that the RMS value is always greater than or equal to the average, in that the RMS includes the "error" / square deviation as well.

Physical scientists often use the term "root mean square" as a synonym for standard deviation when referring to the square root of the mean squared deviation of a signal from a given baseline or fit. This is useful for electrical engineers in calculating the "AC only" RMS of a signal. Standard deviation being the root mean square of a signal's variation about the mean, rather than about 0, the DC component is removed (i.e. RMS(signal) = Stdev(signal) if the mean signal is 0).

See also

• L2 norm
• Least squares
• Mean squared error
• Root mean square deviation
• Table of mathematical symbols

External links

• A case for why RMS is a misnomer when applied to audio power
• RMS, Peak and Average for some waveforms
• A Java applet on learning RMS