საშუალო კვადრატული: განსხვავება გადახედვებს შორის

მასალა ვიკიპედიიდან — თავისუფალი ენციკლოპედია
[შეუმოწმებელი ვერსია][შეუმოწმებელი ვერსია]
შიგთავსი ამოიშალა შიგთავსი დაემატა
ხაზი 62: ხაზი 62:
სადაც ''t'' არის დრო, ხოლო ''ω'' არის [[კუთხური სიხშირე]] (''ω'' = 2π/''T'', სადაც ''T'' არის ტალღის პერიოდი).
სადაც ''t'' არის დრო, ხოლო ''ω'' არის [[კუთხური სიხშირე]] (''ω'' = 2π/''T'', სადაც ''T'' არის ტალღის პერიოდი).


ვინაიდან <math>I_{\mathrm{p}}</math> არის დადებითი მუდმივა:
ვინაიდან <math>I_{\mathrm{p}}</math> არის დადებითი მუდმივი სიდიდე:


:<math>I_{\mathrm{RMS}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {\sin^2(\omega t)}\, dt}}.</math>
:<math>I_{\mathrm{RMS}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {\sin^2(\omega t)}\, dt}}.</math>


ტრიგონომეტრიული იგივობების გამოყენებით მივიღებთ:
Using a [[List of trigonometric identities|trigonometric identity]] to eliminate squaring of trig function:


:<math>I_{\mathrm{RMS}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {{1 - \cos(2\omega t) \over 2}}\, dt}}</math>
:<math>I_{\mathrm{RMS}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {{1 - \cos(2\omega t) \over 2}}\, dt}}</math>
ხაზი 72: ხაზი 72:
:<math>I_{\mathrm{RMS}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} \left [ {{t \over 2} -{ \sin(2\omega t) \over 4\omega}} \right ]_{T_1}^{T_2} }</math>
:<math>I_{\mathrm{RMS}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} \left [ {{t \over 2} -{ \sin(2\omega t) \over 4\omega}} \right ]_{T_1}^{T_2} }</math>


მაგრამ ვინაიდან ინტეგრების ინტერვალი მოიცავს რხევის ციკლების მთელ რაოდენობას <math>\sin</math> შემცველი წევრები გაბათილდება და გვექნება:
but since the interval is a whole number of complete cycles (per definition of RMS), the <math>\sin</math> terms will cancel, leaving:


:<math>I_{\mathrm{RMS}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} \left [ {{t \over 2}} \right ]_{T_1}^{T_2} } = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {{{T_2-T_1} \over 2}} } = {I_\mathrm{p} \over {\sqrt 2}}.</math>
:<math>I_{\mathrm{RMS}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} \left [ {{t \over 2}} \right ]_{T_1}^{T_2} } = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {{{T_2-T_1} \over 2}} } = {I_\mathrm{p} \over {\sqrt 2}}.</math>

A similar analysis leads to the analogous equation for sinusoidal voltage:

:<math>V_{\mathrm{RMS}} = {V_\mathrm{p} \over {\sqrt 2}}.</math>

Where <math>I_{\mathrm{P}} </math> represents the peak current and <math>V_{\mathrm{P}} </math> represents the peak voltage. It bears repeating that these two solutions are for a sinusoidal wave only.

Because of their usefulness in carrying out power calculations, listed [[voltage]]s for power outlets, e.g. 120 V (USA) or 230 V (Europe), are almost always quoted in RMS values, and not peak values. Peak values can be calculated from RMS values from the above formula, which implies ''V''<sub>''p''</sub>&nbsp;=&nbsp;''V''<sub>RMS</sub>&nbsp;×&nbsp;√2, assuming the source is a pure sine wave. Thus the peak value of the mains voltage in the USA is about 120&nbsp;×&nbsp;√2, or about 170 volts. The peak-to-peak voltage, being twice this, is about 340 volts. A similar calculation indicates that the peak-to-peak mains voltage in Europe is about 650 volts.

It is also possible to calculate the RMS power of a signal. By analogy with RMS voltage and RMS current, RMS power is the square root of the mean of the square of the power over some specified time period. This quantity, which would be expressed in units of watts (RMS), has no physical significance. However, the term "RMS power" is sometimes used in the audio industry as a synonym for "mean power" or "average power". For a discussion of audio power measurements and their shortcomings, see [[Audio power]].


===Root mean square velocity===
===Root mean square velocity===

22:56, 20 აპრილი 2010-ის ვერსია

მათემატიკაში და ფიზიკაში საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა არის ცვალებადი სიდიდის სტატისტიკური მახასიათებელი. ეს ცნება განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ისეთი ცვლადი სიდიდეების დასახასითებლად, რომელთა მნიშნელობა შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაგალითად სინუსოიდალური რხევისთვის.

განმარტება

რაიმე დისკრეტული სიდიდის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა განიმარტება როგორც კვადრატული ფესვი ამ მნიშვნელობების კვადრატების საშუალო არითმეტიკულიდან. მნიშვნელობისათვის , საშუალო კვადრატული არის:

ანალოგიურ ფორმულას უწყვეტი ფუნქციისთვის რომელიც განსაზღვრულია რაიმე შუალედში არის

ხოლო უსასრულო ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქციის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა არის

ტიპიური ფუნქციების საშუალო კვადრატული

ფუნქცია განტოლება საშუალო კვადრატული
სინუსოიდალური ტალღა

გამოყენება

რაიმე ცვლადი სიდიდის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა ხშირად გამოიყენება ფიზიკაში.

საშუალო ელექტრული სიმძლავრე

სიმძლავრე , რომელიც გამოიყოფა რაიმე წინაღობაზე მარტივად გამოითვლება თუ დენის ძალა მუდმივია. ასეთ შემთხვევაში

თუ დენი დროში ცვლადი ფუნქციაა , მაშინ ეს ფორმულა განზოგადებას საჭიროებს. თუ დენი დროის პერიოდული ფუნქციაა მაშინ საშუალო სიმძლავრე გამოითვლება ფორმულით

(სადაც აღნიშნავს ფუნქციის საშუალოს)
(R მუდმივია დროში)
(საშუალო კვადრატულის განსაზღვრებიდან)

ასე რომ საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა რაიმე დენისა არის მუდმივი დენის ის მნიშვნელობა, რომელსაც იგივე საშუალო სიმძლავრე აქვს.

ტიპიურ შემთხვევაში, როდესაც დენი არის სინუსოიდალური ფუნქცია, საშუალო სიმძლავრე მარტივად გამოითვლება ზემოთ მოყვანილი განტოლებებიდან. გვაქვს

სადაც t არის დრო, ხოლო ω არის კუთხური სიხშირე (ω = 2π/T, სადაც T არის ტალღის პერიოდი).

ვინაიდან არის დადებითი მუდმივი სიდიდე:

ტრიგონომეტრიული იგივობების გამოყენებით მივიღებთ:

მაგრამ ვინაიდან ინტეგრების ინტერვალი მოიცავს რხევის ციკლების მთელ რაოდენობას შემცველი წევრები გაბათილდება და გვექნება:

Root mean square velocity

In physics, the root mean square velocity is defined as the square root of the average velocity-squared of the molecules in a gas. The RMS velocity of an ideal gas is calculated using the following equation:

where represents the Ideal Gas Constant (in this case, 8.314 J/(mol·K)), is the temperature of the gas in kelvins, and is the molar mass of the gas in kilograms. Note that the unit of mass is in kilograms.

RMS in frequency domain

The RMS can be computed also in frequency domain. The Parseval's theorem is used. For sampled signal:

, where , is number of samples.

In this case, the RMS computed in time domain is the same as in frequency domain:

Relationship to the arithmetic mean and the standard deviation

If is the arithmetic mean and is the standard deviation of a population (the equation is different when is for a sample) then:

From this it is clear that the RMS value is always greater than or equal to the average, in that the RMS includes the "error" / square deviation as well.

Physical scientists often use the term "root mean square" as a synonym for standard deviation when referring to the square root of the mean squared deviation of a signal from a given baseline or fit. This is useful for electrical engineers in calculating the "AC only" RMS of a signal. Standard deviation being the root mean square of a signal's variation about the mean, rather than about 0, the DC component is removed (i.e. RMS(signal) = Stdev(signal) if the mean signal is 0).

See also

References


External links