საკუთრივი მნიშვნელობა

მასალა ვიკიპედიიდან — თავისუფალი ენციკლოპედია
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება

წრფივ ალგებრაში, რაიმე კვადრატული მატრიცის საკუთრივი ვექტორი ეწოდება ისეთ არა-ნულოვან ვექტორს, რომლის მატრიცაზე გამრავლებით მიიღება -ის კოლინეარული ვექტორი, ანუ იგივე ვექტორი, ოღონდ გამრავლებული რაიმე სკალარზე :

აღნიშნულ სკალარს ეწოდება საკუთრივი მნიშვნელობა.

მიმოხილვა[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

უმრავლესობა ვექტორებისა იცვლის მიმართულებას, როცა მათ რაიმე მატრიცაზე ამრავლებენ. თუმცა, მოცემული მატრიცისთვის შესაძლებელია მოძებნილ იქნას ისეთი ვექტორები, რომელთა მიმართულება ამ მატრიცაზე გამრავლებით არ შეიცვლება და გაიზრდება/შემცირდება მხოლოდ მასშტაბი. მაგალითისთვის განვიხილოთ შემდეგი მატრიცა:

.

ამ მატრიცის გამრავლებით ვექტორზე

მიიღება ვექტორი

,

რომელიც მასშტაბით "სამჯერ მეტია" -ზე: . მაშასადამე, წარმოადგენს მატრიცის საკუთრივ ვექტორს, ხოლო 3-იანი კი მატრიცის საკუთრივი მნიშვნელობაა.

შევნიშნოთ, რომ თუ იგიური მატრიცაა, მაშინ ნებისმიერი ვექტორი მის საკუთრივს წარმოადგენს, რადგან , ანუ .

საკუთრივი მნიშვნელობების თვისებები[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

დადებითად განსაზღვრული მატრიცის საკუთრივი მნიშვნელობები დადებითია.

მატრიცის ახარისხებისას მისი საკუთრივი ვექტორები უცვლელი რჩება, ხოლო საკუთრივი მნიშვნელობები კი ახარისხდება.

საკუთრივი მნიშვნელობებისა და ვექტორების გამოთვლა[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

გვაქვს, რომ

საიდანაც, თუ ამონახსნი , მატრიცა შეუქცევადია და მისი დეტერმინანტი

.

ამ უკანასკნელ განტოლებას მახასიათებელი განტოლება ეწოდება და მას გააჩნია იმდენი ამონახსნი ( საკუთრივი მნიშვნელობა), რამდენიცაა მატრიცის რიგი. თითოეული -თვის შესაძლებელია ნაპოვნი იქნეს შესაბამისი საკუთრივი ვექტორი შემდეგი განტოლების ამოხსნით:

.

მაგალითი[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

ვიპოვოთ

მატრიცის ყველა საკუთრივი მნიშვნელობა და ვექტორი. ჩავწეროთ მახასიათებელი განტოლება:

.

ამ კვადრატული განტოლების ფესვებია და . მოძიებული საკუთრივი მნიშვნელობებისთვის ვიპოვოთ შესაბამისი და საკუთრივი ვექტორები:

საიდანაც ერთ-ერთი ამონახსნი იქნება

.

ბუნებრივია, საკუთრივი ვექტორი იქნება ასევე ნებისმიერი ვექტორი ვექტორიც, სადაც რაიმე არა-ნულოვანი სკალარია.

ანალოგიურად,

.

ბუნებრივია, საკუთრივი ვექტორი იქნება ასევე ნებისმიერი ვექტორი ვექტორიც, სადაც რაიმე არა-ნულოვანი სკალარია.