რელეი-ჯინსის კანონი

რელეი-ჯინსის კანონის შედარება ვინის და პლანკის მიახლოებებთან 5800 K ტემპერატურის მქონე სხეულისთვის.

ფიზიკაში, რელეი-ჯინსის კანონი წარმოადგენს აბსოლუტურად შავი სხეულის სპექტრული გამოსხივების სიმკვრივეს იმ პირობით, თუ საქმე დაბალ სიხშირეებთან გვაქვს. ტალღის $\lambda$ სიგრძისთვის

$$B_{\lambda }(T)={\frac {2cK_{B}T}{\lambda ^{4}}}$$

სადაც $B_{\lambda }$ არის სპექტრული გამოსხივება, $c$ არის სინათლის სიჩქარე, $k_{B}$ ბოლცმანის მუდმივა, ხოლო $T$ ‒ ტემპერატურა კელვინებში. სიხშირისთვის $\nu$ გვექნება

$$B_{\nu }(T)={\frac {2\nu ^{2}k_{B}T}{c^{2}}}$$

რელეი-ჯინსის კანონი, ექსპერიმენტული შედეგებიდან გამომდინარე, მუშაობს მხოლოდ დიდი ტალღის სიგრძეზე (შესაბამისად, დაბალ სიხშირეებზე). დაკვირვებებსა და კლასიკური ფიზიკის პროგნოზებს შორის არსებული ეს შეუსაბამობა ცნობილია, როგორც ულტრაიისფერი კატასტროფა. გამოსხივების პლანკის კანონი რელეი-ჯინსის კანონის განზოგადებული ვერსიაა.

ისტორიული კონტექსტი

1900 წელს ბრიტანელმა ფიზიკოსმა ლორდი რელეიმ კლასიკური ფიზიკის საფუძველზე გამოიყვანა რელეი–ჯინსის კანონის λ⁻⁴ დამოკიდებულება, რისთვისაც გამოიყენა ენერგიის თანაბარი განაწილების თეორემა. ეს კანონი პროგნოზირებდა, რომ სხეულის გამოსხივების ენერგია უსასრულობისკენ მიემართებოდა მაშინ, როდესაც ტალღის სიგრძე ნულისკენ, ხოლო სიხშირე უსასრულობისკენ მიისწრაფვის. ამ შედეგს მოგვიანებით „ულტრაიისფერი კატასტროფა“ ეწოდა.

რეალური აბსოლუტურად შავი სხეულების სპექტრული გამოსხივების გაზომვებმა აჩვენა, რომ დაბალ სიხშირეებზე გამოსხივება რეილის გამოთვლებს შეესაბამებოდა, თუმცა მაღალ სიხშირეებზე მათგან მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდა: გამოსხივების ინტენსივობა გარკვეულ მაქსიმუმს აღწევდა და შემდეგ სიხშირის ზრდასთან ერთად მცირდებოდა. შედეგად, სხეულის მიერ გამოსხივებული სრული ენერგია სასრული იყო. რეილიმ აღიარა თავისი ფორმულის არარეალისტური ქცევა მაღალ სიხშირეებზე და მის გამოსასწორებლად შემოიღო გარკვეული შეზღუდვა ამ მაღალი სიხშირეების "მოჭრის" გზით, თუმცა ექსპერიმენტულმა მონაცემებმა აჩვენა, რომ ეს შეზღუდვა დაკვირვებულ შედეგებს არ შეესაბამებოდა.

ჰენდრიკ ლორენცმა ასევე წარმოადგინა ამ დამოკიდებულების გამოყვანა 1903 წელს. უფრო სრულყოფილი გამოყვანები, რომლებშიც პროპორციულობის მუდმივაც იყო განსაზღვრული, 1905 წელს დამოუკიდებლად წარმოადგინეს რეილიმ და ჯეიმზ ჯინსმა, აგრეთვე ალბერტ აინშტაინმა. რელეი მიიჩნევდა, რომ ეს შეუსაბამობა შესაძლოა აიხსნას იმით, რომ ენერგიის თანაბარი განაწილების თეორემა მაღალი სიხშირის რხევებისთვის აღარ იყო მოქმედი. ჯინსი კი ფიქრობდა, რომ პრობლემის საფუძველში მატერიისა და სინათლის მატარებელი ეთერის თერმული წონასწორობის არქონა იდგა.

რელეიმ სიხშირეზე დამოკიდებულების თავისი პირველი გამოყვანა 1900 წლის ივნისში გამოაქვეყნა. იმავე წლის ოქტომბერში მაქს პლანკმა აღმოაჩინა მრუდი, რომელიც დღეს პლანკის კანონის სახელითაა ცნობილი, ხოლო დეკემბერში იგი წარადგინა. თავდაპირველად პლანკის მიზანი იყო ვინის გამოსახულების შავი სხეულის გამოსხივების მრუდისთვის დამაკმაყოფილებელი თეორიული გამოყვანის პოვნა. ვინის თავდაპირველი გამოყვანა მაღალი სიხშირეების შემთხვევაში ექსპერიმენტულ მონაცემებს ზუსტად აღწერდა, თუმცა პლანკმა იგი არასრულად მიიჩნია და საკუთარი მეთოდის შემუშავება დაიწყო. საბოლოოდ პლანკმა დაადგინა, რომ ენერგია უწყვეტად კი არა, დისკრეტული ულუფებით ‒ კვანტებით ‒ გაიცემა/შთაინთქმება, და სწორედ ამ იდეამ მოაგვარა მაღალი სიხშირეების პრობლემა.

შემდეგ, როდესაც პლანკმა შეიტყო, რომ უახლესი ექსპერიმენტული შედეგები დაბალ სიხშირეებზე მის პროგნოზებს არ ემთხვეოდა, მან თავისი გამოთვლები გადაამუშავა და საბოლოოდ მიიღო ის ფორმულა, რომელიც დღეს პლანკის კანონის სახელითაა ცნობილი.

შედარება პლანკის კანონთან

რეილეი–ჯინსის კანონი და პლანკის კანონი აღწერს აბსოლუტურად შავი სხეულის თერმული გამოსხივების სპექტრულ განაწილებას. ორივე კანონი უკავშირდება შავი სხეულის გამოსხივების ინტენსივობას, თუმცა მათ საფუძვლად განსხვავებული ფიზიკური დაშვებები უდევს.

რეილეი–ჯინსის კანონი კლასიკურ ფიზიკას ეფუძნება და მიღებულია ენერგიის თანაბარი განაწილების თეორემის გამოყენებით. სიხშირის მიხედვით იგი გამოისახება ფორმულით:

$$B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T,$$

სადაც $B_{\nu }$ არის სპექტრული გამოსხივების ინტენსივობა, $\nu$ — სიხშირე, $T$ — აბსოლუტური ტემპერატურა, $c$ — სინათლის სიჩქარე, ხოლო $k_{\mathrm {B} }$ — ბოლცმანის მუდმივა.

ტალღის სიგრძის მიხედვით რეილეი–ჯინსის კანონს აქვს სახე:

$$B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}.$$

ეს ფორმულა კარგად აღწერს ექსპერიმენტულ მონაცემებს დაბალ სიხშირეებზე, ანუ დიდ ტალღის სიგრძეებზე. თუმცა მაღალი სიხშირეების შემთხვევაში იგი მნიშვნელოვან წინააღმდეგობაში მოდის ექსპერიმენტთან. კერძოდ, როდესაც $\nu \rightarrow \infty$, რელეი–ჯინსის კანონის მიხედვით $B_{\nu }$ უსასრულოდ იზრდება. შედეგად, ყველა სიხშირეზე გამოსხივების ინტეგრირებისას მიიღება უსასრულო ენერგია. ამ წინააღმდეგობას ულტრაიისფერი კატასტროფა ეწოდა.

გამოსხივების პლანკის კანონი, რომელიც მაქს პლანკმა 1900 წელს შემოგვთავაზა, ამ პრობლემას აგვარებს. სიხშირის მიხედვით პლანკის კანონი გამოისახება შემდეგნაირად:

$$B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}},$$

ხოლო ტალღის სიგრძის მიხედვით:

$$B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/(\lambda k_{\mathrm {B} }T)}-1}},$$

სადაც $h$ არის პლანკის მუდმივა. პლანკის კანონის მნიშვნელოვანი თავისებურება ისაა, რომ იგი რელეი–ჯინსის კანონს დაბალი სიხშირეების ზღვარში უახლოვდება. როდესაც$h\nu \ll k_{\mathrm {B} }T,$ ექსპონენტური ფუნქციის შესაბამისი მიახლოების გამოყენებით პლანკის კანონი გადადის რეილეი–ჯინსის კანონში:

$$B_{\nu }(\nu ,T)\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T.$$

ამგვარად, რელეი–ჯინსის კანონი შეიძლება განხილულ იქნეს როგორც პლანკის კანონის დაბალი სიხშირის მიახლოება.

მაღალი სიხშირეების შემთხვევაში კი პლანკის კანონი რელეი–ჯინსის კანონისგან პრინციპულად განსხვავებულ ქცევას აჩვენებს. როდესაც $\nu$ იზრდება, პლანკის ფორმულაში ექსპონენციალური წევრი სწრაფად იზრდება და სპექტრული გამოსხივება მცირდება. ამიტომ გამოსხივების სპექტრს აქვს სასრული მაქსიმუმი და გამოსხივებული სრული ენერგიაც სასრულია.

ამ განსხვავების ფიზიკური საფუძველი დაკავშირებულია პლანკის მიერ შემოღებულ ენერგიის კვანტიზაციის იდეასთან. პლანკის მიხედვით, მატერიასა და გამოსხივებას შორის ენერგიის გაცვლა ხდება დისკრეტული ენერგეტიკული ულუფებით:

$$E=h\nu .$$

რელეი–ჯინსის კანონი ასეთ კვანტურ შეზღუდვას არ ითვალისწინებს და კლასიკური სტატისტიკური მექანიკის ფარგლებში ენერგიის თანაბარ განაწილებას ყველა შესაძლო რხევის მოდზე ავრცელებს. სწორედ ეს დაშვება იწვევს მაღალი სიხშირეების შემთხვევაში ულტრაიისფერ კატასტროფას.

ამრიგად, ორივე კანონი დაბალ სიხშირეებზე ერთსა და იმავე შედეგს იძლევა, თუმცა მაღალი სიხშირეების შემთხვევაში მხოლოდ პლანკის კანონი შეესაბამება ექსპერიმენტულ მონაცემებს. ამ მიზეზით პლანკის კანონი მნიშვნელოვანი ეტაპი იყო კვანტური ფიზიკის ჩამოყალიბებაში.

კანონის სხვა ფორმები

გამოყენების მიხედვით, პლანკის ფუნქცია შეიძლება გამოისახოს სამი განსხვავებული ფორმით. პირველი ფორმა აღწერს გამომსხივებელი ზედაპირის ფართობის ერთეულიდან, დროის ერთეულში, სივრცული კუთხის ერთეულში და სპექტრის ერთეულში გამოსხივებულ ენერგიას. ამ ფორმით პლანკის ფუნქცია და მასთან დაკავშირებული რელეი-ჯინსის ზღვარი გამოისახება:

$$B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}$$

ან

$$B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2k_{\mathrm {B} }T\nu ^{2}}{c^{2}}}.$$

ალტერნატიულად, პლანკის კანონი შეიძლება ჩაიწეროს ფორმით

$$I(\nu ,T)=\pi B_{\nu }(T)$$

რომელიც აღწერს ყველა სივრცული კუთხის მიხედვით ინტეგრირებულ გამოსხივებულ სიმძლავრეს. ამ ფორმით პლანკის ფუნქცია და მასთან დაკავშირებული რელეი-ჯინსის ზღვარი გამოისახება:

$$I(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2\pi ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}$$

ან

$$I(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2\pi k_{\mathrm {B} }T\nu ^{2}}{c^{2}}}.$$

სხვა შემთხვევაში, პლანკის კანონი შეიძლება ჩაიწეროს ფორმით

$$u(\nu ,T)={\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)$$

რომელიც აღწერს ენერგიას მოცულობის ერთეულზე, ანუ ენერგიის სიმკვრივეს. ამ ფორმით პლანკის ფუნქცია და მასთან დაკავშირებული რელეი-ჯინსის ზღვარი გამოისახება:

$$u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}$$

ან

$$u(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }T\nu ^{2}}{c^{3}}}.$$

იხილეთ აგრეთვე

• სტეფან-ბოლცმანის კანონი
• გამოსხივების პლანკის კანონი
• ვინის წანაცვლების კანონი

გარე ბმულები

• Derivation of Rayleigh–Jeans law
• Derivation of modes a wave in a cube