მელერ-ტრამბორის კვეთის ალგორითმი

მელერ-ტრამბორის ალგორითმით დგინდება სხივის კვეთა სამკუთხედთან სამ განზომილებაში. თომას მელერისა და ბენ ტრამბორის ეს ალგორითმი არ საჭიროებს წერტილების სიბრტყეზე გადატანას, ზოგავს მეხსიერებას და თავის თანამედროვე იმპლემენტაციებთან შედარებით სწრაფია. ის პუბლიკაცია ACM-მა გამოსცა 1997 წელს სახელით „სწრაფი, მინიმალური მეხსიერების სამკუთხედ-სხივის კვეთა“ და კომპიუტერული გრაფიკის სფეროში ერთ-ერთ ყველაზე ცნობილ ნაშრომს წარმოადგენს. იმის მიუხედავად, რომ უკეთესი ალგორითმებიც არსებობს, მელერ-ტრამბორის ალგორითმი დღესაც ფართოდაა გავრცელებული მისი სიმარტივის გამო.

ალგორითმი

წერტილი სხივზე:

$R(t)=O+tD$ (1)

$O$ - საწყისი წერილია, $t$ - მანძილი, $D$ - სხივის მიმართულება

წერტილი სამკუთხედზე:

$T(u,v)=(1-u-v)V_{0}+uV_{1}+vV_{2}$ (2)

$V_{0},V_{1},V_{2}$ სამკუთხედის წვეროს კოორდინატებია

მთავარი ტოლობა:

სხივი რომ სამკუთხედს კვეთდეს უნდა არსებობდეს წერტილი სხივზე, რომელიც სამკუთხედს ეკუთვნის.

$R(t)=T(u,v)$ ანუ:

$O+tD=(1-u-v)V_{0}+uV_{1}+vV_{2}$ (3)

გადავანაცვლოთ ცვლადები და ვიღებთ:

$[-D,V_{1}-V_{0},V_{2}-V_{0}]{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}=O-V_{0}$ (4)

კვეთის სანახავად უნდა ამოიხსნას განტოლება (4).

ამოხსნა:

$E_{1}=V_{1}-V_{0}$

$E_{2}=V_{2}-V_{0}$

$T=O-V_{0}$

$P=(D\times E_{2})$

$Q=T\times E_{1}$

განტოლების (4) ამოხსნა ხდება შემდეგნაირად:

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{(D\times E_{2})\cdot E_{1}}}{\begin{bmatrix}(T\times E_{1})\cdot E_{2}\\(D\times E_{2})\cdot T\\(T\times E_{1})\cdot D\end{bmatrix}}={\frac {1}{P\times E_{1}}}{\begin{bmatrix}(Q\times E_{2})\\(P\times T)\\(Q\times D)\end{bmatrix}}$ (6)

მივიღებთ სამეულს $(t,u,v)$

იმპლემენტაცია

/* Ray-Triangle Intersection Test Routines          */
/* Different optimizations of my and Ben Trumbore's */
/* code from journals of graphics tools (JGT)       */
/* http://www.acm.org/jgt/                          */
/* by Tomas Moller, May 2000                        */

#include <math.h>

#define EPSILON 0.000001
#define CROSS(dest,v1,v2) \
          dest[0]=v1[1]*v2[2]-v1[2]*v2[1]; \
          dest[1]=v1[2]*v2[0]-v1[0]*v2[2]; \
          dest[2]=v1[0]*v2[1]-v1[1]*v2[0];
#define DOT(v1,v2) (v1[0]*v2[0]+v1[1]*v2[1]+v1[2]*v2[2])
#define SUB(dest,v1,v2) \
          dest[0]=v1[0]-v2[0]; \
          dest[1]=v1[1]-v2[1]; \
          dest[2]=v1[2]-v2[2]; 

/* the original jgt code */
int intersect_triangle(double orig[3], double dir[3],
		       double vert0[3], double vert1[3], double vert2[3],
		       double *t, double *u, double *v)
{
   double edge1[3], edge2[3], tvec[3], pvec[3], qvec[3];
   double det,inv_det;

   /* find vectors for two edges sharing vert0 */
   SUB(edge1, vert1, vert0);
   SUB(edge2, vert2, vert0);

   /* begin calculating determinant - also used to calculate U parameter */
   CROSS(pvec, dir, edge2);

   /* if determinant is near zero, ray lies in plane of triangle */
   det = DOT(edge1, pvec);

   if (det > -EPSILON && det < EPSILON)
     return 0;
   inv_det = 1.0 / det;

   /* calculate distance from vert0 to ray origin */
   SUB(tvec, orig, vert0);

   /* calculate U parameter and test bounds */
   *u = DOT(tvec, pvec) * inv_det;
   if (*u < 0.0 || *u > 1.0)
     return 0;

   /* prepare to test V parameter */
   CROSS(qvec, tvec, edge1);

   /* calculate V parameter and test bounds */
   *v = DOT(dir, qvec) * inv_det;
   if (*v < 0.0 || *u + *v > 1.0)
     return 0;

   /* calculate t, ray intersects triangle */
   *t = DOT(edge2, qvec) * inv_det;

   return 1;
}


/* code rewritten to do tests on the sign of the determinant */
/* the division is at the end in the code                    */
int intersect_triangle1(double orig[3], double dir[3],
			double vert0[3], double vert1[3], double vert2[3],
			double *t, double *u, double *v)
{
   double edge1[3], edge2[3], tvec[3], pvec[3], qvec[3];
   double det,inv_det;

   /* find vectors for two edges sharing vert0 */
   SUB(edge1, vert1, vert0);
   SUB(edge2, vert2, vert0);

   /* begin calculating determinant - also used to calculate U parameter */
   CROSS(pvec, dir, edge2);

   /* if determinant is near zero, ray lies in plane of triangle */
   det = DOT(edge1, pvec);

   if (det > EPSILON)
   {
      /* calculate distance from vert0 to ray origin */
      SUB(tvec, orig, vert0);
      
      /* calculate U parameter and test bounds */
      *u = DOT(tvec, pvec);
      if (*u < 0.0 || *u > det)
	 return 0;
      
      /* prepare to test V parameter */
      CROSS(qvec, tvec, edge1);
      
      /* calculate V parameter and test bounds */
      *v = DOT(dir, qvec);
      if (*v < 0.0 || *u + *v > det)
	 return 0;
      
   }
   else if(det < -EPSILON)
   {
      /* calculate distance from vert0 to ray origin */
      SUB(tvec, orig, vert0);
      
      /* calculate U parameter and test bounds */
      *u = DOT(tvec, pvec);
/*      printf("*u=%f\n",(float)*u); */
/*      printf("det=%f\n",det); */
      if (*u > 0.0 || *u < det)
	 return 0;
      
      /* prepare to test V parameter */
      CROSS(qvec, tvec, edge1);
      
      /* calculate V parameter and test bounds */
      *v = DOT(dir, qvec) ;
      if (*v > 0.0 || *u + *v < det)
	 return 0;
   }
   else return 0;  /* ray is parallell to the plane of the triangle */


   inv_det = 1.0 / det;

   /* calculate t, ray intersects triangle */
   *t = DOT(edge2, qvec) * inv_det;
   (*u) *= inv_det;
   (*v) *= inv_det;

   return 1;
}

/* code rewritten to do tests on the sign of the determinant */
/* the division is before the test of the sign of the det    */
int intersect_triangle2(double orig[3], double dir[3],
			double vert0[3], double vert1[3], double vert2[3],
			double *t, double *u, double *v)
{
   double edge1[3], edge2[3], tvec[3], pvec[3], qvec[3];
   double det,inv_det;

   /* find vectors for two edges sharing vert0 */
   SUB(edge1, vert1, vert0);
   SUB(edge2, vert2, vert0);

   /* begin calculating determinant - also used to calculate U parameter */
   CROSS(pvec, dir, edge2);

   /* if determinant is near zero, ray lies in plane of triangle */
   det = DOT(edge1, pvec);

   /* calculate distance from vert0 to ray origin */
   SUB(tvec, orig, vert0);
   inv_det = 1.0 / det;
   
   if (det > EPSILON)
   {
      /* calculate U parameter and test bounds */
      *u = DOT(tvec, pvec);
      if (*u < 0.0 || *u > det)
	 return 0;
      
      /* prepare to test V parameter */
      CROSS(qvec, tvec, edge1);
      
      /* calculate V parameter and test bounds */
      *v = DOT(dir, qvec);
      if (*v < 0.0 || *u + *v > det)
	 return 0;
      
   }
   else if(det < -EPSILON)
   {
      /* calculate U parameter and test bounds */
      *u = DOT(tvec, pvec);
      if (*u > 0.0 || *u < det)
	 return 0;
      
      /* prepare to test V parameter */
      CROSS(qvec, tvec, edge1);
      
      /* calculate V parameter and test bounds */
      *v = DOT(dir, qvec) ;
      if (*v > 0.0 || *u + *v < det)
	 return 0;
   }
   else return 0;  /* ray is parallell to the plane of the triangle */

   /* calculate t, ray intersects triangle */
   *t = DOT(edge2, qvec) * inv_det;
   (*u) *= inv_det;
   (*v) *= inv_det;

   return 1;
}

/* code rewritten to do tests on the sign of the determinant */
/* the division is before the test of the sign of the det    */
/* and one CROSS has been moved out from the if-else if-else */
int intersect_triangle3(double orig[3], double dir[3],
			double vert0[3], double vert1[3], double vert2[3],
			double *t, double *u, double *v)
{
   double edge1[3], edge2[3], tvec[3], pvec[3], qvec[3];
   double det,inv_det;

   /* find vectors for two edges sharing vert0 */
   SUB(edge1, vert1, vert0);
   SUB(edge2, vert2, vert0);

   /* begin calculating determinant - also used to calculate U parameter */
   CROSS(pvec, dir, edge2);

   /* if determinant is near zero, ray lies in plane of triangle */
   det = DOT(edge1, pvec);

   /* calculate distance from vert0 to ray origin */
   SUB(tvec, orig, vert0);
   inv_det = 1.0 / det;
   
   CROSS(qvec, tvec, edge1);
      
   if (det > EPSILON)
   {
      *u = DOT(tvec, pvec);
      if (*u < 0.0 || *u > det)
	 return 0;
            
      /* calculate V parameter and test bounds */
      *v = DOT(dir, qvec);
      if (*v < 0.0 || *u + *v > det)
	 return 0;
      
   }
   else if(det < -EPSILON)
   {
      /* calculate U parameter and test bounds */
      *u = DOT(tvec, pvec);
      if (*u > 0.0 || *u < det)
	 return 0;
      
      /* calculate V parameter and test bounds */
      *v = DOT(dir, qvec) ;
      if (*v > 0.0 || *u + *v < det)
	 return 0;
   }
   else return 0;  /* ray is parallell to the plane of the triangle */

   *t = DOT(edge2, qvec) * inv_det;
   (*u) *= inv_det;
   (*v) *= inv_det;

   return 1;
}